Беседы о математике. Книга 1. Дискретные объекты. Болтянский В.Г., Савин А.П.

М.: ФИМА, МЦНМО, 2002. - 368 с.

Книга вводит читателей в круг идей современной математики. В популярной форме рассказывается о теории множеств, комбинаторике, теории графов, теории вероятностей и других вопросах.

Издание будет интересно учителям математики. специальная глава посвящена вопросам, связанным с поиском учащимися решений задач.

В то же время эта книга может служить основой курса математики для студентов гуманитарных специальностей, такой курс был прочитан авторами для психологов.

Учащиеся и учителя математических школ, лицеев и гимназий могут использовать издание в качестве учебного пособия.

Формат: pdf / zip

Размер: 4,62 Мб

Скачать / Download файл

ПРЕДИСЛОВИЕ

Математика в системе наук занимает особое место. Ее методами пользуются все существующие науки. «Во всякой науке ровно столько науки, сколько в ней математики» — в справедливости этого высказывания теперь никто уже не сомневается.
Однако если достижения других наук — физики, химии, биологии, астрономии — систематически освещаются в средствах массовой информации и через короткое время попадают на страницы школьных учебников, то о новых математических открытиях прочесть в газете или журнале не удастся. Единственной математической теоремой, время от времени появлявшейся в широкой печати, была Великая теорема Ферма. Но и к ней исчез интерес у журналистов после появления ее доказательства, занимающего сотни страниц и использующего аппарат, недоступный среднему интеллигенту.
Причиной этому — дедуктивный характер математики. Для того, чтобы понять то или иное достижение в алгебре, геометрии или теории вероятностей, как правило, требуется знание огромного фундамента, на котором появилось это достижение. К тому же математика выработала свой специфический язык, овладение которым сродни овладению трудным иностранным языком.
В конце 40-х годов XX века американские математики Р. Курант и Г. Роббинс предприняли удачную попытку рассказать широкому кругу читателей, в первую очередь учителям математики в школе и школьникам, о содержании и методах современной математики в книге «Что такое математика». Эта книга не раз издавалась и на русском языке.
С тех пор прошло полвека и назрела необходимость еще раз попытаться ответить на вопрос «Что такое математика?». Эта книга написана именно с этой целью. Первый ее том «Дискретные объекты» вы держите в руках. Вторым томом предполагается «Непрерывность», а третьим «Экстремум».

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ................................................................................................... 5

ВВЕДЕНИЕ ............................................................................................................. 6

Беседа 1. Предмет математики ......................................................................... 6

1. Мнения о пользе математики ........................................................................... 6

2. Понятия математики и их возникновение ........................................................... 8

3. Некоторые виды абстракции ............................................................................... 9

4. Многоступенчатые абстракции ........................................................................ 11

5. Пространственные и пространственноподобные формы ................................. 13

6. Количественные отношения реального мира .................................................... 16

Глава I. МНОЖЕСТВА И ОТОБРАЖЕНИЯ ................................................... 20

Беседа 2. Конечные и бесконечные множества ............................................. 20

7. Множество и его элементы ............................................................................... 20

8. Взаимно однозначное соответствие .................................................................. 25

9. Счетные множества ........................................................................................ 28

10. Понятие мощности множества ........................................................................ 32

Беседа 3. Операции над множествами ............................................................. 38

11. Пересечение множеств .................................................................................... 38

12. Объединение множеств .................................................................................... 45

13. Дополнение множеств ..................................................................................... 51

14. Произведение множеств ................................................................................... 56

Беседа 4. Отображения ...................................................................................... 60

15. Общее понятие отображения и школьная математика .................................... 60

16. Некоторые виды отображений ......................................................................... 65

17. Обратное отображение .................................................................................... 69

18. Композиция отображений ............................................................................... 73

19. Классификация ............................................................................................. 80

Беседа 5. Упорядоченные множества .............................................................. 88

20. Понятие упорядоченного множества .............................................................. 88

21. Минимальные элементы и математическая индукция ..................................... 91

22. Трансфинитные числа и аксиома выбора ........................................................ 98

Глава II. КОМБИНАТОРИКА ........................................................................ 104

Беседа 6. Размещения, сочетания и родственные задачи ............................ 104

23. Размещения с повторениями ......................................................................... 104

24. Системы счисления ........................................................................................ 107

25. Размещения без повторений .......................................................................... 110

26. Сочетания без повторений ............................................................................ 113

27. Сочетания с повторениями ............................................................................ 116

28. Бином Ньютона ........................................................................................... 118

29. Производящие функции ................................................................................. 122

30. Принцип Дирихле .......................................................................................... 126

Беседа 7. События и вероятности .................................................................. 130

31. События ..................................................................................................... 130

32. Классическое понятие вероятности ............................................................... 134

33. Свойства вероятности .................................................................................... 140

34. Условная вероятность .................................................................................... 144

35. Независимые события и серии испытаний .................................................... 149

Беседа 8. Случайные величины ..................................................................... 156

36. Математическое ожидание и дисперсия ........................................................ 156

37. Нормальное распределение ........................................................................... 162

38. Закон больших чисел ................................................................................... 167

Беседа 9. Информация ..................................................................................... 170

39. Чет нечет ............................................................................................... 170

40. Количество двоичных цифр ........................................................................... 172

41. Задачи на взвешивание ................................................................................... 176

42. Понятие об энтропии .................................................................................... 179

Беседа 10. Комбинаторные задачи о графах ................................................. 185

43. Графы и их элементы ..................................................................................... 185

44. Цепи и циклы в графах .................................................................................. 188

45. Плоские графы ........................................................................................... 194

46. Формула Декарта—Эйлера ............................................................................ 197

47. Правильные многогранники и паркеты ......................................................... 201

48. Проблема четырех красок ............................................................................. 208

49. Ориентированные графы ............................................................................... 210

50. Конечные позиционные игры ........................................................................ 214

51. Понятие о сетевом планировании ................................................................. 218

ГЛАВА III. РАССУЖДЕНИЯ ........................................................................... 221

Беседа 11. Теоремы .......................................................................................... 221

52. Существование и общность ........................................................................... 221

53. Структура теоремы ........................................................................................ 226

54. Отрицание ................................................................................................. 232

55. Необходимое и достаточное условие ............................................................ 237

56. Конъюнкция и дизъюнкция ............................................................................ 242

Беседа 12. Понятие об аксиоматическом методе ........................................ 248

57. Возникновение аксиоматического метода в математике ............................... 248

58. Метрические пространства ........................................................................... 252

59. Коммутативные группы .............................................................................. 256

Беседа 13. Непротиворечивость, независимость, полнота ......................... 262

60. Непротиворечивость и понятие модели ........................................................ 262

61. Математические примеры моделей ............................................................... 264

62. Построение аксиоматики геометрии ............................................................. 267

63. Геометрия Лобачевского ............................................................................... 270

64. Модель геометрии Лобачевского .................................................................. 274

65. Изоморфизм моделей ................................................................................... 276

66. Полнота аксиоматики .................................................................................. 279

Глава IV. ПОИСК РЕШЕНИЙ ........................................................................ 282

Беседа 14. Инсайт ............................................................................................. 282

67. Цикл озарения ............................................................................................. 282

68. Сфера достижимости ..................................................................................... 286

69. Анализ и синтез ........................................................................................... 291

70. Обратимый анализ ....................................................................................... 295

71. Анализ поиск решения .............................................................................. 297

72. Поиск решения нестандартных задач ............................................................ 299

73. Соединение анализа с синтезом ..................................................................... 302

Беседа 15. Наглядность. Аналогия. Интуиция ............................................. 306

74. Формула наглядности изоморфизм плюс простота .................................. 306

75. Наглядность и математическая эстетика ....................................................... 315

76. Аналогия общность аксиоматики ............................................................. 320

77. Прогнозирование ..................................................................................... 326

78. Несколько слов о математической интуиции ................................................ 332

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ И УПРАЖНЕНИЙ ........................................................... 335