Математика: Справочные материалы. Гусев В.А., Мордкович А.Г.

2-е изд., М.: Просвещение, 1990. - 416с.

В книге дано краткое изложение основных разделов школьных курсов алгебры и начал анализа, геометрии. Книга окажет помощь в систематизации и обобщений знаний по математике.

(Справочник содержит, кроме теории, очень много примеров задач с решениями. Состоит из двух разделов: до стр. 153 - Алгебра, далее - Геометрия.)

Формат: djvu / zip

Размер: 4,6 Мб

Скачать / Download файл

ГЛАВА I. ЧИСЛА

| 1. Натуральные числа

1. Запись натуральных чисел 11

2. Арифметические действия над натуральными числами —

8. Деление с остатком . . .12

4. Признаки делимости . . 13

Б. Разложение натурального числа на простые множите­ли ........14

в. Наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел .......15

7. Наименьшее общее кратное нескольких натуральных чи­сел 16

8. Употребление букв в алгебре. Переменные ..... 17

f 2. Рациональные числа

О. Обыкновенные дроби. Пра­вильные и неправильные дро­би. Смешанные числа ... 17

10. Равенство дробей. Основное свойство дроби. Сокращение Дробей 18

11. Приведение дробей к общему знаменателю ..... 19

12. Арифметические действия над обыкновенными дробями 20

13. Десятичные дроби ... 22

14. Арифметические действиянад десятичными дробями 24

15. Проценты................................. 26

16. Обращение обыкновенной дро­би в бесконечную десятичную периодическую дробь . . 27

17.* Обращение бесконечной де­сятичной периодической дро­би в обыкновенную дробь 28

18 Координатная прямая 30

19. Множество рациональныхчисел .......31

§ 3. Действительные числа

20. Иррациональные числа 31

21. Действительные числа. Чис­ловая прямая ..... 32

22. Обозначения некоторых чис­ловых множеств .... 33

23. Сравнение действительных чисел .*>....

24. Свойства числовых нера­венств 34

25. Числовые промежутки 35

26. Модуль действительного чис­ла 36

27. Формула расстояния между двумя точками координат­ной прямой ..... 37

28. Правила действий над дейст­вительными числами . . —

Свойства арифметических действий над действитель­ными числами .... 38

20. Пропорции............................... 38

21. Целая часть числа. Дробная часть числа 39

22. Степень с натуральным пока­зателем ...... —

23. Степень с пулевым показате­лен. Степень с отрицатель­ным целым показателем .

24. Стандартный вид положи­тельного действительного числа 40

25. Определение арифметическо­го корня. Свойства арифме­тических корней .... —

36 Корень нечетной степени изотрицательного числа . . 41

37. Степень с дробным показате­лем 42

38. Свойства степеней с рацио­нальными показателями . . —

39. Приближенные значения чи­сел. Абсолютная и относи­тельная погрешности... 43

40. Десятичные приближения действительного числа по недостатку и по избытку 44

41.* Правило извлечения квад­ратного корня из натураль­ного числа ...... 45

42. Понятие о степени с иррацио­нальным показателем . . 47

43. Свойства степеней с действи­тельными показателями. . —

6 4. Комплексные числа

44. Понятие о комплексном чис­ле 47

45. Арифметические операции над комплексными числами 48

46 Алгебраическая форма комп­лексного числа .... 49

47. Отыскание комплексных корней уравнений .... 52

ГЛАВА II. АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ВЫРАЖЕНИЯ

б 5. Основные понятна

48. Виды алгебраических выра­жений .......53

49. Допустимые значения пере­менных. Область определе­ния алгебраического выра­жения ....... —

60. Понятие тождественного преобразования выражения.Тождество............................... 54

§ 6. Целые рациональные выражения

51. Одночлены н операции над ними .......65

52. Многочлены. Приведение многочленов к стандартному виду 66

53. Формулы сокращенного ум­ножения 67

54. Разложение многочленов на множители 68

55. Многочлены от одной пере­менной ...... 60

56. Разложение квадратного трех­члена на линейные множи­тели —

57. Разложение на множители двучлена зс"—а" .... 61

58. Возведение двучлена в нату­ральную степень (бином Нью­тона) ....... —

б 7. Дробные рациональные выражения

59. Рациональная дробь и ее ос­новное свойство .... 62

60. Сокращение рациональных дробей 63

61. Приведение рациональных дробей к общему знаменате­лю ........ —

62. Сложение и вычитание раци­ональных дробей .... 64

63 Умножение и деление рацио­нальных дробей .... 66

64. Возведение рациональной дроби в целую степень . . 66

65. Преобразование рациональ­ных выражений .... 67

б 8. Иррациональные выраже­ния

66. Простейшие преобразования арифметических корней (ра­дикалов) 63

67. Тождество V(?=lel ... 69

68. Преобразование иррацио­нальных выражений . . 70

ГЛАВА III. ФУНКЦИИ И ГРА­ФИКИ б 9. Свойства функций

69. Определение функции . . 71

70. Аналитическое задание функции ...... —

71. Табличное задание функции 78

72. Числовая плоскость. Коорди­натная плоскость, оси коор­динат ....... 73

73. График функции, заданной аналитически ..... —

74. Четные и нечетные функции 75
76. График четной функции. График нечетной функции 76

76. Периодические функции . . 77

77. Монотонные функции . . —

б 10. Виды функций

73. Постоянная функция . . .

79. Прямая пропорциональность

80. Линейная функция ...

81. Взаимное расположение гра­фиков линейных функций

82. Обратная пропорциональ­ность

Функция у=-х'

Функция у=х* Степенная функция с нату­ральным показателем Степенная функция с целым отрицательны» показателем Функция у=~\Х Функция у=Щх Функция у='\[х Степенная функция с поло­жительным дробным показа­телем

Степенная функция с отрица­тельным дробным показа лен

02. Функция у=[х\ .

93. Функция #=Ы .

94. Показательная функция . 05. Обратная функция. График обратной функции ... 96. Логарифмическая функция ©7. Число е. Функция у=е"

Функция у = In х .

98. Определение тригонометрических функций ....

99. Знаки тригонометрических функций по четвертям . .

100. Исследование тригонометри­ческих функций на четность, нечетность .....

101. Периодичность тригономет­рических функций ...

102. Свойства ш графни функции у sinx

103. Свойства и график функции у=соз х

104. Свойства и график функции y=tgx

106. Свойства и график функции y = ctgx.................................... 100

106.* Функция y=arcsin х . . — 107.* Функция у = BXCCOS х . . 102 106.* Функция у= arctg x . . 103 109.* Функция y=axcctgx . . 104

6 11. Преобразования графиков

110. Построение графика функ­ции у = mf [х) ■ . . . 105

111. Графики функций у=ах*, у=ах? 107

112. Построение графика функ­ции y=f(xm)+n. . . _

113. График квадратичной фун­кции ....... 108

114. Способы построения гра­фика квадратичной функ­ции Ю9

115. Построение графика функ­ции у = f(kx) Ill

116. Сжатие и растяжение гра­фиков тригонометрических функций . . . ■ • .113

117. График гармонического ко­лебания y=Asin(coj;+o) 114

ГЛАВА IV. ТРАНСЦЕНДЕНТ­НЫЕ ВЫРАЖЕНИЯ б 12. Преобразование выраже­ний, содержащих переменную под знаком логарифма

118. Понятие трансцендентного выражения ..... 116

119. Определение логарифма по­ложительного числа по данному основанию. ■ .117

120. Свойства логарифмов . . —

121. Переход к новому основа­нию логарифма . . . .118

122. Логарифмирование и потен­цирование 119

123. Десятичный логарифм. Ха­рактеристика и мантисса десятичного логарифма. .120

б 13. Формулы тригонометрии н их использование для преобра­зования трнговокетрнческих вы­ражении

124. Тригонометрические выра­жения ...... 121

125. Формулы сложения и вы­читания аргументов . . —

126. Формулы приведения . . 12S
127- Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же аргу­мента ...... 123

128. Формулы двойного угла . 125

129. Формулы понижения сте­пени ....... 126

180. Преобразование суммы три­гонометрических функций в произведение .... 127

131. Преобразование произведе­ния тригонометрических функций в сумму ... 128

182.* Преобразование выражения acosf+bsint к виду .Asin{t+a)............................... —

188.* Примеры преобразований выражений, содержащих об ратные тригонометрические функции................................. 129

ГЛАВА V. УРАВНЕНИЯ И СИСТЕМЫ УРАВНЕНИИ $ 14. Уравнения с одной переменной

134. Определение уравнения. Корни уравнения . . . 131

135. Равносильность уравнений —

136. Линейные уравнения . . 132

137. Квадратные уравнения . . 133

138. Неполные квадратные урав­нения .......134

139 Теорема Виета .... —

140. Системы и совокупности уравнений . . . . .135

141. Уравнения, содержащие пе­ременную под знаком моду­ля 136

142. Понятие следствия уравне­ния. Посторонние корни . 137

143. Уравнения с переменной в знаменателе .... 138

144. Область определения урав­нения . . . - . .139

145. Рациональные уравнения . 141

146. Решение уравнения р (х)=0 методом разложения его ле­вой части на множители . —

147. Решение уравнений методом введения новой переменной 142

148. Биквадратные уравнения 143

149. Решение задач с помощью составления уравнений . . —

150. Иррациональные уравнения 147

151. Показательные уравнения 149

152. Логарифмические уравне­ния ....... —

153. Примеры решения покавательно-логарифмических уравнений . . . . .151

154. Простейшие тригонометрические уравнения . . .152

155. Методы решения тригоно­метрических уравнений . 153

156.* Универсальная подстановка (для тригонометрических уравнении) ..... 156

157.* Метод введения вспомога­тельного аргумента (для тригонометрических урав­нений) . . . . . .157

158. Графическое решение урав­нений ...... 158

159.* Уравнения с параметром . 160

S 15. Уравнения с двумя пере­менными

160. Решение уравнения с двумя переменными . . . .168

161. График уравнения с двумя переменными .... —

162. Линейное уравнение с дву­мя переменными и его гра­фик —

S 16. Системы уравнений

163. Системы двух уравнений с двумя переменными. Рав­носильные системы . . .164

164. Решение систем двух урав­нений с двумя переменными методом подстановки . .166

165. Решение систем двух урав­нений с двумя переменными методом сложения ... —

166. Решение систем двух урав­нений с двумя переменными методом введения новых переменных ..... 167

167. Графическое решение систем двух уравнений с двумя пе­ременными ..... 169

163. Исследование системы двух линейных уравнений с дву­мя переменными . . .170

169.* Решение систем двух урав­нений с двумя переменными методами умножения и де­ления . . . . . . .171

170 Системы показательных и логарифмических уравнений .................................... 173

171.* Системы тригонометрических уравнений с двумя переменными ........................ —

172. Системы трех уравнений стремя переменными. . . 17G

173. Решение задач с помощью составления систем уравнений .................................... 176

ГЛАВА VI. НЕРАВЕНСТВА в 17. Решение неравенств с пе­ременной

174. Основные понятия, связанные с решение» неравенств с одной переменной . . . 178

175. Графическое решение нера­венств с одной переменной 179

176. Линейные неравенства с од­ной переменной .... —

177. Системы неравенств с одной переменной ..... 180

178. Совокупность неравенств с одной переменной . . .181

179. Дробно-линейные неравен­ства ....... 182

180. Неравенства второй степени 183

181. Графическое решение нера­венств второй степени . .185

182. Неравенства с модулями . 187

183. Решение рациональных не­равенств методом проме­жутков ...... 189

184. Показательные неравенства 191

185. Логарифмические неравен­ства ....**. —

186.* Иррациональные неравен­ства ....... 193

187. Решение тригонометричес­ких неравенств . . . .195

188. Неравенства я системы не­равенств с двумя перемен­ными 196

в 18. Доказательство неравенств

189. Метод оценки знака раз­ности 199

190. Синтетический метод дока­зательства неравенств . . —

191. Доказательство неравенств методом от противного . . 200

192.* Использование неравенств при решении уравнений . 201

ГЛАВА VII. ЭЛЕМЕНТЫ МА­ТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА

f 19. Числовые последователь

193. Определение последовательности ..................................... 201

194. Способы задания последовательностей-

195. Возрастание и убывание последовательности ... —

196. Определение арифметичес­кой прогрессии .... 203

197. Свойства арифметической прогрессии ..... 204

198. Определение геометрической прогрессии ..... 205

199. Свойства геометрической прогрессии ..... 206

200. Понятие о пределе последо­вательности ..... 207

201. Вычисление пределов после­довательностей .... 209

202. Сумма бесконечной геомет­рической прогрессии при |в|<1 210

§ 20. Предел функции

203. Предел функции y=f[x) при х-*-оо. Горизонтальная асимптота ..... 211

204. Вычисление пределов функ­ций при х-»-оо . .

205. Предел функции в точке. Непрерывные функции .

206. Вертикальная асимптота

207. Вычисление пределов функ­ций в точке ...

§ 21. Производная я ее приме-

208. Приращение аргумента. При­ращение функции . . * 218

209. Определение производной . —

210. Формулы дифференциро­вания. Таблица производ­ных 220

211. Дифференцирование суммы, произведения, частного . . —

212. Сложная функция и ее диф­ференцирование . . . 221

213. Физический смысл произ­водной 222

214. Вторая производная и ее фи­зический смысл .... 223

215. Касательная к графику функции —

216. Применение производной к исследованию функций на монотонность .... 226

217. Применение производной к исследованию функций на экстремум ..... 228

218. Отыскание наибольшего я