Основы математического анализа. В 2-х ч. Ильин В.А., Позняк Э.Г.

М.: Физматлит. Ч.1- 2005, 7-е изд., 648с.; Ч.2- 2002, 4-е изд., 464с.

Один из выпусков "Курса высшей математики и математической физики" под редакцией А.Н.Тихонова. В.А.Ильина. А.Г.Свешникова.

Учебник создан на базе лекций, читавшихся авторами в течение ряда лет на физическом факультете и на факультете вычислительной математики и кибернетики Московского государственного университета.

Часть I включает теорию вещественных чисел, теорию пределов и непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной, теорию числовых рядов, дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Часть II включает теорию функциональных последовательностей и рядов, кратных (в том числе несобственных), криволинейных и поверхностных интегралов, интегралов, зависящих от параметров, теорию рядов и интегралов Фурье.

Для студентов высших учебных заведений, обучающихся по специальностям "Физика" и "Прикладная математика".

Часть 1.

Формат: djvu / zip

Размер: 6,4 Мб

Скачать / Download файл

Часть 2.

Формат: djvu / zip

Размер: 3,5 Мб

Скачать / Download файл


ЧАСТЬ 1. СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к седьмому изданию ..................... 15
Предисловие к пятому изданию ....................... 16
Предисловие к первому изданию ...................... 17
Глава 1. Предварительные сведения об основных понятиях математического анализа ................. 19
§ 1. Математические понятия, возникающие при описании движения ................................. 19
§ 2 Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические понятия ................................ 22
§ 3 Задача о восстановлении закона движения по скорости и связанная с ней математическая проблематика ..... 29
§ 4 Проблемы, возникающие при решении задачи о вычислении пути 31
§ 5 Заключительные замечания .................... 35
Глава 2. Теория вещественных чисел ............... 37
§ 1. Вещественные числа ......................... 37
§ 2 Арифметические операции над вещественными числами. Основные свойства вещественных чисел ............. 50
§ 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел .... 56
Дополнение 1. О переводе чисел из десятичной системы счисления в двоичную и из двоичной системы в десятичную ... 57
Дополнение 2. Об ошибках в округлении чисел в системах счисления с четным и нечетным основаниями ................ 59
Глава 3. Предел последовательности ............... 61
§ 1. Числовые последовательности ................... 61
§ 2. Сходящиеся последовательности и их основные свойства ... 67
§ 3. Монотонные последовательности .................. 73
§ 4. Некоторые свойства произвольных последовательностей и числовых множеств ........................... 79
Дополнение 1. Теорема Штольца .................... 93
Дополнение 2. О скорости сходимости последовательности приближающей л/а .............................. 96
Глава 4. Понятие функции. Предельное значение функции. Непрерывность ........................ 100
§ 1. Понятие функции .......................... 100
§ 2. Понятие предельного значения функции ............. 103
§ 3. Понятие непрерывности функции .................110
§ 4. Некоторые свойства монотонных функций ............113
§ 5. Простейшие элементарные функции ................117
§ 6. Предельные значения некоторых функций ............ 133
§ 7. Непрерывность и предельные значения некоторых сложных функций ................................ 138
§ 8. Классификация точек разрыва функции ............. 143
Дополнение. Доказательство утверждения из п.6§ 5 ........146
Глава 5. Основы дифференциального исчисления ...... 156
§ 1. Производная. Ее физическая и геометрическая интерпретация 156
§ 2. Понятие дифференцируемости функции ............. 162
§ 3. Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного ............................... 166
§ 4. Вычисление производных степенной функции, тригонометрических функций и логарифмической функции ..........168
§ 5. Теорема о производной обратной функции ............ 171
§ 6. Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций ................... 173
§ 7. Правило дифференцирования сложной функции ........ 175
§ 8. Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций 177
§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала. Некоторые применения дифференциала .................... 179
§ 10. Производные и дифференциалы высших порядков ....... 183
§ 11. Дифференцирование функции, заданной параметрически ... 188
Глава 6. Неопределенный интеграл ................ 190
§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 190
§ 2. Основные методы интегрирования ................. 196
Глава 7. Комплексные числа. Алгебра многочленов. Интегрирование в элементарных функциях ........ 203
§ 1. Краткие сведения о комплексных числах .............203
§ 2. Алгебраические многочлены .................... 207
§ 3. Кратные корни многочлена. Признак кратности корня ..... 210
§ 4. Принцип выделения кратных корней. Алгоритм Евклида . . . 212
§ 5. Разложение правильной рациональной дроби с комплексными коэффициентами на сумму простейших дробей .........215
§ 6. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых вещественных множителей .... 217
§ 7. Разложение правильной рациональной дроби с вещественными коэффициентами на сумму простейших дробей с вещественными коэффициентами . 220
§ 8. Проблема интегрирования рациональной дроби .........225
§ 9. Метод Остроградского ........................ 228
§ 10. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных выражений ............................ 231
§ 11. Эллиптические интегралы ..................... 245
Глава 8. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях ...................... 247
§ 1. Новое определение предельного значения функции ....... 247
§ 2. Локальная ограниченность функции, имеющей предельное значение .................................. 252
§ 3. Теорема об устойчивости знака непрерывной функции ..... 254
§ 4. Прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение ............................. 255
§ 5. Ограниченность функции, непрерывной на сегменте ...... 256
§ 6. Точные грани функции и их достижение функцией, непрерывной на сегменте ............................ 257
§ 7. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный максимум (минимум) ............................ 260
§ 8. Теорема о нуле производной .................... 262
§ 9. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) ..... 263
§ 10. Некоторые следствия из формулы Лагранжа .......... 264
§ 11. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) 269
§ 12. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) ....... 270
§ 13. Формула Тейлора .......................... 275
§ 14. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена . . 278
§ 15. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементарных функций ............................. 281
§ 16. Примеры приложений формулы Маклорена ...........285
Дополнение. Вычисление элементарных функций .......... 290
Глава 9. Геометрическое исследование графика функции. Нахождение максимального и минимального значений функции ... 300
§ 1. Участки монотонности функции. Отыскание точек экстремума 300
§ 2. Направление выпуклости графика функции ........... 308
§ 3. Точки перегиба графика функции .................310
§ 4. Третье достаточное условие экстремума и перегиба ....... 315
§ 5. Асимптоты графика функции ...................318
§ 6. Схема исследования графика функции ..............320
§ 7. Отыскание максимального и минимального значений функции. Краевой экстремум .......................... 323
Глава 10. Определенный интеграл ................ 327
§ 1. Интегральные суммы. Интегрируемость ............. 327
§ 2. Верхние и нижние суммы ...................... 330
§ 3. Необходимое и достаточное условие интегрируемости . . . . . 335
§ 4. Некоторые классы интегрируемых функций ...........337
§ 5. Основные свойства определенного интеграла .......... 344
§ 6. Оценки интегралов. Формулы среднего значения ........ 347
§ 7. Существование первообразной для непрерывной функции. Основные правила интегрирования ................352
Дополнение 1. Некоторые важные неравенства для сумм и интегралов ................................... 360
Дополнение 2. Доказательство утверждения из п. 4 § 6 ....... 368
Глава 11. Геометрические и физические приложения определенного интеграла ................... 368
§ 1. Длина дуги кривой .......................... 368
§ 2. Площадь плоской фигуры ..................... 383
§ 3. Объемы тел и площади поверхностей ............... 390
§ 4. Некоторые физические приложения определенного интеграла 395
Дополнение. Пример неквадрируемой фигуры ............ 397
Глава 12. Приближенные методы вычисления корней уравнений и определенных интегралов ......... 402
§ 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений ..... 402
§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 414
Глава 13. Теория числовых рядов ................. 426
§ 1. Понятие числового ряда ....................... 426
§ 2. Ряды с положительными членами ................. 432
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды .............. 445
§ 4. Арифметические операции над сходящимися рядами ...... 453
§ 5. Признаки сходимости произвольных рядов ............ 454
§ 6. Бесконечные произведения ..................... 460
Дополнение 1. Вспомогательная теорема для п.3§2 ........ 466
Дополнение 2. Разложение функции sin ж в бесконечное произведение .................................. 467
Дополнение 3. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов .................................. 470
Глава 14. Функции нескольких переменных .......... 475
§ 1. Понятие функции нескольких переменных ............ 475
§ 2. Предельное значение функции нескольких переменных .... 483
§ 3. Непрерывные функции нескольких переменных ......... 490
§ 4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных ................................... 497
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков . . 513
§ 6. Локальный экстремум функции т переменных .........531
§ 7. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции ................................... 543
Дополнение. О выборе оптимального разбиения сегмента для приближенного вычисления интеграла ....... 565
Глава 15. Теория неявных функций и ее приложения . . . 568
§ 1. Понятие неявной функции ..................... 568
§ 2. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции и некоторые ее применения ......... 569
§ 3. Неявные функции, определяемые системой функциональных уравнений ............................... 580
§ 4. Зависимость функций ........................ 587
§ 5. Условный экстремум ......................... 594
Дополнение. Замена переменных .................... 602
Глава 16. Некоторые геометрические приложения дифференциального исчисления ................ 606
§ 1. Огибающая и дискриминантная кривая однопараметрического семейства плоских кривых ..................... 606
§ 2. Соприкосновение плоских кривых .................615
§ 3. Кривизна плоской кривой ...................... 622
§ 4. Эволюта и эвольвента ........................ 627
Приложение. Дальнейшее развитие теории вещественных чисел .......................... 632
Предметный указатель ............................ 642

ЧАСТЬ 2. СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие к третьему изданию 11
Предисловие к первому изданию 11
Глава 1. Функциональные последовательности и ряды . . 13
§ 1. Равномерная сходимость 13
§ 2. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов 27
§ 3. Равностепенная непрерывность последовательности функций. Теорема Арцела 37
§ 4. Степенные ряды 41
§ 5. Разложение функций в степенные ряды 47
Глава 2. Двойные и п-кратные интегралы 57
§ 1. Определение и существование двойного интеграла 58
§ 2. Основные свойства двойного интеграла 68
§ 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному . 69
§ 4. Тройные и n-кратные интегралы 73
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле 77
Дополнение. О приближенном вычислении п-кратных интегралов 93
Глава 3. Несобственные интегралы 98
§ 1. Несобственные интегралы первого рода (одномерный случай) 98
§ 2. Несобственные интегралы второго рода (одномерный случай) 106
§ 3. Главное значение несобственного интеграла 109
§ 4. Кратные несобственные интегралы 110
Глава 4. Криволинейные интегралы 118
§ 1. Определения криволинейных интегралов и их физический смысл 118
§ 2. Существование криволинейных интегралов и сведение их к определенным интегралам 121
Глава 5. Поверхностные интегралы 127
§ 1. Понятие поверхности 127
§ 2. Площадь поверхности 137
§ 3. Поверхностные интегралы 142
Глава 6. Основные операции теории поля 149
§ 1. Преобразования базисов и координат. Инварианты 149
§ 2. Основные понятия и операции, связанные со скалярным и векторным полем 156
§ 3. Выражение основных операций теории поля в криволинейных координатах 165
Глава 7. Формулы Грина, Стокса и Остроградского .... 176
§ 1. Формула Грина 176
§ 2. Формула Стокса 189
§ 3. Формула Остроградского 195
§ 4. Некоторые приложения формул Грина, Стокса и Остроградского 200
ДОПОЛНЕНИЕ. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве 210
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы 210
§ 2. Дифференциальные формы 217
§ 3. Дифференцируемые отображения 221
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм 224
Глава 8. Мера и интеграл Лебега 230
§ 1. О структуре открытых и замкнутых множеств 231
§ 2. Измеримые множества 235
§ 3. Измеримые функции 243
§ 4. Интеграл Лебега 251
Дополнение 1. Необходимое и достаточное условие интегрируемости по Риману 273
Дополнение 2. Необходимое и достаточное условие интегрируемости ограниченной функции по Лебегу 275
Глава 9. Интегралы, зависящие от параметров 277
§ 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра 277
§ 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра .... 282
§ 3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра к вычислению несобственных интегралов 290
§ 4. Интегралы Эйлера 294
§ 5. Формула Стирлинга 302
§ 6. Кратные интегралы, зависящие от параметров 306
Глава 10. Ряды и интеграл Фурье 311
§ 1. Понятие об ортонормированных системах и об общем ряде Фурье 311
§ 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы 320
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее 323
§ 4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье 329
§ 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке 335
§ 6. Интеграл Фурье 358
§ 7. Кратные тригонометрические ряды и интегралы Фурье . . 370
Глава 11. Гильбертово пространство 378
§ 1. Пространство I2 378
§ 2. Пространство L2 388
§ 3. Абстрактное гильбертово пространство 400
§ 4. Вполне непрерывные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве 406
Глава 12. Основы теории кривых и поверхностей 421
§ 1. Векторные функции 421
§ 2. Некоторые сведения из теории кривых 429
§ 3. Некоторые сведения из теории поверхностей 438
Приложение. О вычислении значений функции по приближенно заданным коэффициентам Фурье 452
Алфавитный указатель 460