Задачи по элементарной математике и началам математического анализа. Бачурин В.А.

М.: Физматлит, 2005. - 712с.

В книге представлены задачи по всем разделам элементарной математики и по началам математического анализа. К большинству задач даются ответы; приводятся также примеры решения задач и указания к решениям.

Дополнительно к школьным учебникам в пособии дается изложение важных разделов математики, например: алгоритм извлечения квадратного корня из числа; теорема Безу и ее применение; векторное произведение; прямая в пространстве.

В главе «Дополнительные задачи и образцы их решения» выделены задачи, которые вызывают наибольшие затруднения у лиц, занимающихся самообразованием. Решения этих задач приводятся с соответствующими комментариями.

Формат: djvu / zip

Размер: 4,9 Мб

Скачать / Download файл

Из ПРЕДИСЛОВИЯ:

Настоящая книга создана на основе (мною же написанных) пособий по математике для заочных подготовительных курсов МГТУ «Станкин».

В журнале «Математика в школе» была опубликована рекомендация Отделения математики Академии наук СССР (во главе с академиком-секретарем Н. Н. Боголюбовым) о том, чтобы на первых курсах пединститутов были организованы повторные занятия по элементарной математике, прежде чем начать читать лекции по высшей математике. И поручено было организовать это мероприятие академику СП. Новикову (президенту Московского математического общества).

А моя рукопись как будто по заказу была создана для этих занятий. О ней написано:

«Особое достоинство книги В. А. Бачурина заключается в том, что в ней отображена вся полнота вопросов элементарной математики... Пособие может служить руководством для лиц, самостоятельно готовящихся к поступлению в вуз, это не менее важное достоинство его*). Книга очень нужная**), вполне отвечает своему назначению, таких книг нет...» (чл.-корр. АПН проф. И. Я. Верченко). Рукопись была представлена академику СП. Новикову, а он в свою очередь представил ее чл.-корр. Л. Д. Кудрявцеву и академику СМ. Никольскому, которые как раз в то время издали учебник по математике для школьников. Разумеется, они были в курсе школьных проблем. Рукописи была дана «зеленая улица», и она превратилась в книгу A998 г.)***).

Предполагается, что решению задач данной книги будет предшествовать повторение теории соответствующих разделов учебников и изучение Приложений (условное название глав) к ней. Материал Приложений представляет собой теоретическую часть пособия, в которой освещаются важные разделы математики, в том числе, например, Алгоритмы извлечения квадратного корня из чисел и деления многочлена на многочлен, Функции и их графики, Метод математической индукции, Комбинаторика и бином Ньютона, Абсолютная величина числа, Комплексные числа (Приложение I); Решение рациональных уравнений и неравенств, Решение иррациональных уравнений и неравенств, Тригонометрические уравнения и неравенства, Применение тригонометрии в стереометрии (Приложение II). Приложение III охватывает вопросы вступительных экзаменов по математике. Добавляется важный материал математики: излагаются разделы по теории и даются образцы решения задач (см. оглавление).

В журнале «Квант» опубликованы сведения о том, что некоторые вузы стали проводить вступительные экзамены по математике только в письменном виде. В соответствии с этим в экзаменационные билеты стали вносить по 8, 12, 16 и даже по 20 задач. (Например, в Академии нефти и газа им. И. М. Губкина — 12 задач.) В этой книге и представлены такие варианты под названием Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи».

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 7

К предисловию 9

Раздел I

АРИФМЕТИКА

§ 1. Целые числа и действия над ними 11

§ 2. Текстовые задачи с целыми числами 12

§ 3. Обыкновенные и десятичные дроби 15

§ 4. Проценты (первая серия задач) 20

§ 5. Задачи на кратные пропорции, пропорциональность величин и другие задачи 22

Раздел II

АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА

§ 1. Предварительные понятия 27

§ 2. Одночлены и многочлены 28

§ 3. Алгебраические дроби 35

§ 4. Уравнения первой степени с одной переменной. Системы уравнений первой степени и приводящиеся к ним 38

§ 5. Извлечение квадратного корня 50

§ 6. Квадратные уравнения 50

§ 7. Степени и радикалы. Обобщение понятия степени 57

§ 8. Уравнения высших степеней. Рациональные уравнения 61

§ 9. Иррациональные уравнения 64

§10. Системы нелинейных уравнений 65

§11. Множество действительных чисел 69

§12. Понятие функции. Графики функций 71

§13. Прогрессии 74

§14. Показательные и логарифмические функции 84

§15. Показательные и логарифмические уравнения 87

§16. Проценты (вторая серия задач) 91

§17. Тригонометрические функции 93

§18. Тригонометрические уравнения 114

§19. Неравенства первой степени. Исследование уравнений первой степени 119

§20. Исследование квадратного трехчлена. Неравенства второй степени. Рациональные неравенства 125

§21. Неравенства с двумя переменными и их системы 130

§22. Иррациональные неравенства 132

§23. Показательные и логарифмические неравенства 133

§24. Тригонометрические неравенства 135

§25. Комплексные числа 136

§26. Комбинаторика и бином Ньютона 142

§27. Теорема Везу и ее приложения 148

§28. Принцип математической индукции 150

§29. Числовые последовательности и их пределы 151

§30. Исследование функции без применения производной. Предел функции. Производная функции. Исследование функции с помощью производной 153

§31. Дифференциал функции 168

§32. Неопределенный интеграл 170

§33. Определенный интеграл 174

Раздел III

ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ

§ 1. Начальные понятия геометрии 177

§ 2. Начальные понятия геометрии (продолжение) 178

§ 3. Параллелограмм и трапеция 183

§ 4. Окружность и круг 188

§ 5. Симметрия фигур и некоторые другие вопросы 193

§ 6. Векторы 194

§ 7. Подобие фигур 204

§ 8. Правильные многоугольники и вычисление длины окружности .... 211

§ 9. Площади фигур 215

§10. Приложение алгебры к геометрии 221

§11. Решение треугольников. Задачи по планиметрии с применением тригонометрических функций 222

Раздел IV

ГЕОМЕТРИЯ. СТЕРЕОМЕТРИЯ

§ 1. Начальные понятия 229

§ 2. Векторы в пространстве 230

§ 3. Прямая и плоскость 237

§ 4. Многогранники 246

§ 5. Цилиндр и конус 254

§ 6. Шар и комбинации геометрических фигур 262

§ 7. Задачи по стереометрии с применением метода координат и векторов 271

§ 8. Задачи по стереометрии с применением тригонометрических функций 274

Приложение I

КРАТКИЕ СПРАВОЧНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО НЕКОТОРЫМ РАЗДЕЛАМ МАТЕМАТИКИ

§ 1. Функции и их графики 287

§ 2. Алгоритм извлечения квадратного корня из числа 293

§ 3. Алгоритм деления многочлена на многочлен 299

§ 4. Теорема Везу и ее применение 304

§ 5. Комплексные числа 308

§ 6. Комбинаторика и бином Ньютона 318

§ 7. Определители второго порядка и их приложение 323

§ 8. Определители третьего порядка и их приложение. Решение систем линейных уравнений методом последовательного исключения переменных (методом Гаусса) 329

§ 9. Абсолютная величина действительного числа. Уравнения и неравенства, содержащие абсолютную величину действительного числа 333

§10. Метод математической индукции 340

§11. Векторное произведение 344

§12. Прямая в пространстве 349

§13. Дифференциал функции 355

§14. Неопределенный интеграл 358

Приложение II

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ И ОБРАЗЦЫ ИХ РЕШЕНИЯ

§ 1. График дробно-линейной функции (преобразование графика функции у = 1/x) 372

§ 2. Уравнения высших степеней (с целочисленными коэффициентами) 377

§ 3. Рациональные уравнения 379

§ 4. Иррациональные уравнения 381

§ 5. Показательные и логарифмические уравнения 384

§ 6. Тригонометрические уравнения 395

§ 7. Рациональные неравенства 410

§ 8. Иррациональные неравенства 415

§ 9. Показательные и логарифмические неравенства 418

§10. Тригонометрические неравенства 422

§11. Применение тригонометрических функций в стереометрии 431

Приложение III

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ

§ 1. Экзаменационные задачи по разделам 441

§ 2. Разные задачи из экзаменационных билетов 457

§ 3. Образцы билетов с задачами по математике, предлагавшимися на письменных вступительных экзаменах в вузах 460

§ 4. Выборочные задачи из экзаменационных билетов, не являющиеся обязательными для всех абитуриентов 470

§ 5. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи». Варианты вступительных экзаменов 480

§ 6. Дополнение к разделу «Экзаменационные задачи». Варианты билетов 2002 г 513

Приложение IV

СВОДНАЯ ТАБЛИЦА ФОРМУЛ

§ 1. Алгебра и начала анализа 553

§ 2. Геометрия 558

Приложение V

ЛАТИНСКИЙ И ГРЕЧЕСКИЙ АЛФАВИТЫ

§ 1. Латинский алфавит 564

§ 2. Греческий алфавит 564

ОТВЕТЫ, РЕШЕНИЯ, УКАЗАНИЯ

Раздел I. Арифметика 565

Раздел П. Алгебра и начала анализа 567

Раздел III. Геометрия. Планиметрия 655

Раздел IV. Геометрия. Стереометрия 675

Приложение III. Экзаменационные задачи 692