Неэлементарные задачи в элементарном изложении. Яглом А.М., Яглом И.М.

Задачи по комбинаторике и теории вероятностей.

Задачи из разных областей математики.

или изд. 2006

М., ГТТИ, 1954. - 554с. (Выпуск 5 серии "Библиотека математического кружка")

В настоящей книге, написанной известными отечественными математиками, большинство задач относится к математическим дисциплинам, изучаемым только в высшей школе, - к теории вероятностей, проективной геометрии, топологии, интегральному исчислению, теории чисел. В то же время ни одна из собранных здесь задач не требует для своего решения знаний, выходящих за пределы школьного курса математики (кроме кратких разъяснений, приведенных в отдельных местах книги перед условиями соответствующих задач), - и по формулировкам, и по методам решения все эти задачи вполне элементарны. Книга состоит из условий задач, решений и ответов с указаниями. Главная цель книги - познакомить читателя с рядом математических фактов, идей и методов; форма задачника выбрана для того, чтобы стимулировать активную, творческую работу над всем этим материалом.
Книга рассчитана на увлекающихся математикой школьников старших классов и студентов младших курсов вузов, на преподавателей математики и вообще на всех любителей этой науки; она может быть использована в работе школьных и студенческих математических кружков.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,2 Мб

Скачать / Download файл (Яндекс - Народ. Диск.) 1) Введите 6 цифр. 2) Нажмите зеленую кнопку. 3) На следующей странице (если стоит галочка) обязательно уберите галочку из графы "Установить Яндекс Бар", иначе Вы ничего не сможете скачать. 4) Нажмите ссылку и начнется скачивание.

Из предисловия:

Эта книга первоначально была задумана как последняя, за­ключительная часть сборника «Избранные задачи и теоремы элементарной математики», составляющего первые три выпуска «Библиотеки математического кружка». Однако в процессе работы выяснилось, что новая книга значительно отличается от предыдущих и прежнее название к ней уже мало подходит.

Основное отличие этой книги от первых выпусков «Библиотеки» заключается в тематике задач. Если в первых выпусках темы задач, как правило, черпались из элементарных областей математики, изучаемых в средней школе (арифметика, алгебра, геометрия), то в настоящей книге большая часть задач фактически относится к математическим дисциплинам, изучаемым только в высшей школе,— к теории вероятностей, проективной геометрии, топологии, интегральному исчислению, теории чисел. Назвать все эти задачи «задачами и теоремами элементарной математики» было бы уже очень большой натяжкой. В то же время ни одна из собранных здесь задач не требует для своего решения знаний, выходящих за пределы школьного курса математики (кроме кратких разъяснений, приведенных в отдельных местах книги перед условиями соответствующих задач), —и по формулировкам и по методам решения все эти задачи вполне элементарны. Иначе говоря, большинство собранных здесь предложений относится к элементарным вопросам высшей («неэлементарной») математики—это обстоятельство и имеет в виду название книги.

Главная цель настоящей книги — познакомить читателя с рядом новых математических фактов, идей и методов; форма задачника выбрана для того, чтобы стимулировать активную, творческую работу над всем этим материалом

СОДЕРЖАНИЕ

Предисловие.............................................................................................. ...... 5

Указания к пользованию книгой............................................................. 8

Номера задач, предлагавшихся на московских математических олимпиадах.

ЗАДАЧИ

РАЗДЕЛ I ЗАДАЧИ ПО КОМБИНАТОРИКЕ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1. Вводные задачи (1—10)....................................................................... ... 12

2. Разложение чисел в произведение сомножителей и на сумму слагаемых (11—31)

3. Комбинаторные задачи на шахматной доске (32—40)....................... 19

4. Геометрические задачи по комбинаторике (41—54)......................... 22

5.Задачи на биномиальные коэффициенты (55—61)............................ ... 25

6.Задачи на подсчет вероятностей (62—100)........................................ 29

A. Случай конечного числа возможных исходов испытания (62—82)....... 32

Б. Случай бесконечного числа возможных исходов испытания (83—91)... 41

B. Случай непрерывного множества возможных исходов испытания (92—100).

РАЗДЕЛ II ЗАДАЧИ ИЗ РАЗНЫХ ОБЛАСТЕЙ МАТЕМАТИКИ

1. Задачи о взаимном расположении точек и прямых (101—107) 52

2. Еще две задачи о расположении точек на плоскости (108—109) 54

3. Плоские точечные решетки (110—112)........................................... ... 54

4. Задачи по топологии (113—117)...................................................... ... 56

5.Одно свойство чисел, обратных целым (118)................................. 60

6.Три задачи о выпуклых многоугольниках (119—121) .... 60

7.Несколько свойств числовых последовательностей (122—125) 61

8.Задача о размещении предметов (126)............................................ 62

9.Задачи на недесятичные системы счисления (127—129) ... 63

10.Многочлены, наименее уклоняющиеся от нуля (многочлены Чебышева) (130—135)

11.Четыре формулы для числа я (136—145)...................................... .... 66

12.Вычисление площадей криволинейных фигур (146—154) ... 69

13.Несколько замечательных пределов (155—164).......................... 77

14.Несколько задач из теории простых чисел (165—170) .... 83

РЕШЕНИЯ

Раздел I. Задачи по комбинаторике и теории вероятностей 89

Раздел II. Задачи из разных областей математики .... 335

ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ.......................................................... 520