Математический анализ. В 2-х томах. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х.

М.: Изд-во МГУ. Ч.1: 2-е изд., перераб., 1985. - 662с.; Ч.2 - 1987. - 358с.

Ч. 1. - Начальный курс.

Учебник представляет собой первую часть курса математического анализа для высших учебных заведений СССР, Болгарии и Венгрии, написанного в соответствии с соглашением о сотрудничестве между Московским, Софийским и Будапештским университетами. Книга включает в себя теорию вещественных чисел, теорию пределов, теорию непрерывности функций, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной и их приложения, дифференциальное исчисление функций многих переменных и теорию неявных функций.

Ч. 2. - Продолжение курса.

Учебник представляет собой вторую часть (ч. 1 — 1985 г.) курса математического анализа, написанного в соответствии с единой программой, принятой в СССР и НРБ. В книге рассмотрены теория числовых и функциональных рядов, теория кратных, криволинейных и поверхностных интегралов, теория поля (включая дифференциальные формы), теория интегралов, зависящих от параметра, и теория рядов и интегралов Фурье. Особенность книги — три четко отделяемых друг от друга уровня изложения: облегченный, основной и повышенный, что позволяет использовать ее как студентам технических вузов с углубленным изучением математического анализа, так и студентам механико-математических факультетов университетов.

Ч. 1. - Начальный курс.

Формат: djvu / zip

Размер: 5,5 Мб

Скачать / Download файл (Яндекс - Народ. Диск.) 1) Введите 6 цифр. 2) Нажмите зеленую кнопку. 3) На следующей странице (если стоит галочка) обязательно уберите галочку из графы "Установить Яндекс Бар", иначе Вы ничего не сможете скачать. 4) Нажмите ссылку и начнется скачивание.

Ч. 2. - Продолжение курса.

Формат: djvu/ zip

Размер: 3,1 Мб

Скачать / Download файл


Необходимое замечание относительно выложенного здесь файла djvu части 1 рассматриваемого курса.

Здесь, как и в остальных библиотеках Интернета, он немного не полный, содержит всего 600 стр. (из 662-х). То есть без оглавления и главы 13. Полная версия этой работы встречается лишь в формате PDF (очень большого размера).

Здесь ссылка на сайт удаленаPDF_library_natural-science.php можно скачать эти тома в PDF. Ч. 1 - 31Мб, Ч. 2 - 14Мб.

Или здесь ссылка на сайт удаленаMm/Books/Books.php эти книги выложены небольшими частями в pdf, можно скачать две недостающих последних части к первому тому.


Ч. 1. - Начальный курс.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие титульного редактора .... 5
Предисловие ко второму изданию 6
Предисловие к первому изданию 6
Глава 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА 10
Глава 2. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА 29
§ 1. Множество чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, и его упорядочение 29
1. Свойства рациональных чисел (29). 2. Недостаточность рациональных чисел для измерения отрезков числовой оси (31). 3. Упорядочение множества бесконечных десятичных
дробей (34)
§ 2. Ограниченные сверху (или снизу) множества чисел, представимых бесконечными десятичными дробями .... 40 1. Основные понятия (40). 2. Существование точных граней (41).
§ 3. Приближение чисел, представимых бесконечными десятичными дробями, рациональными числами 44
§ 4. Операции сложения и умножения. Описание множества вещественных чисел 46
1. Определение операций сложения и умножения. Описание понятия вещественных чисел (46). 2. Существование и единственность суммы и произведения вещественных чисел (47).
§ 5. Свойства вещественных чисел 50
1. Свойства вещественных чисел (50). 2. Некоторые часто употребляемые соотношения (52). 3. Некоторые конкретные множества вещественных чисел (52).
§ 6. Дополнительные вопросы теории вещественных чисел . .54 1. Полнота множества вещественных чисел (54). 2. Аксиоматическое введение множества вещественных чисел (57).
§ 7. Элементы теории множеств . 59
1. Понятие множества (59). 2. Операции над множествами (60). 3. Счетные и несчетные множества. Несчетность сегмента [0, 1]. Мощность множества (61). 4. Свойства операции над множествами. Отображение множеств (65).
Г л а в а 3. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ . 68
§ 1. Последовательность и ее предел 68.
1. Понятие последовательности. Арифметические операции над последовательностями (68). 2. Ограниченные, неограниченные, бесконечно малые и бесконечно большие последовательности (69). 3. Основные свойства бесконечно малых последовательностей (73). 4. Сходящиеся последовательности и их свойства (75).
§ 2. Монотонные последовательности 83
1. Понятие монотонной последовательности (83). 2. Теорема о сходимости монотонной ограниченной последовательности (84). 3. Число е (86). 4. Примеры сходящихся монотонных последовательностей (88).
§ 3. Произвольные последовательности 92
1. Предельные точки, верхний и нижний пределы последовательности (92). 2. Расширение понятий предельной точки и верхнего и нижнего пределов (99). 3. Критерий Коши сходимости последовательности (102).
§ 4. Предел (или предельное значение) функции 105
1. Понятия переменной величины и функции (105). 2. Предел функции по Гейне и по Коши (109). 3. Критерий Коши существования предела функции (115). 4. Арифметические операции над функциями, имеющими предел (118). 5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции (119).
§ 5. Общее определение предела функции по базе .... 122
Глава 4. НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ 127
§ 1. Понятие непрерывности функции 127
1. Определение непрерывности функции (127). 2. Арифметические операции над непрерывными функциями (131). 3. Сложная функция и ее непрерывность (132).
§ 2. Свойства монотонных функций 132
1. Монотонные функции (132). 2. Понятие обратной функции (133).
§ 3. Простейшие элементарные функции 138
1. Показательная функция (138). 2. Логарифмическая функция (145). 3. Степенная функция (146). 4. Тригонометрические функции (147). 5. Обратные тригонометрические функции (154). 6. Гиперболические функции (156).
§ 4. Два замечательных предела 158
1. Первый замечательный предел (158). 2. Второй замечательный предел (159).
§ 5. Точки разрыва функции и их классификация . . . . 162 1. Классификация точек разрыва функции (162). 2. О точках разрыва монотонной функции (166).
§ 6. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций . 167 1. Локальные свойства непрерывных функций (167). 2. Глобальные свойства непрерывных функций (170). 3. Понятие равномерной непрерывности функции (176). 4. Понятие модуля непрерывности функции (181).
§ 7. Понятие компактности множества 184
1. Открытые и замкнутые множества (184). 2. О покрытиях множества системой открытых множеств (184). 3. Понятие компактности множества (186).
Г л а в а 5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ 189
§ 1. Понятие производной 189
1. Приращение функции. Разностная форма условия непрерывности (189). 2. Определение производной (190). 3. Геометрический смысл производной (192).
§ 2. Понятие дифференцируемости функции 193
1. Определение дифференцируемости функции (193). 2. Дифференцируемость и непрерывность (195). 3. Понятие дифференциала функции (196).
§ 3. Дифференцирование сложной функции и обратной функции 197 1. Дифференцирование сложной функции (197). 2. Дифференцирование обратной функции (199). 3. Инвариантность формы первого дифференциала (200). 4. Применение дифференциала для установления приближенных формул (201).
§ 4. Дифференцирование суммы, разности, произведения и частного функций 202
§ 5. Производные простейших элементарных функций . . . 205 1. Производные тригонометрических функций (205). 2. Производная логарифмической функции (207). 3. Производные показательной и обратных тригонометрических функций (208). 4. Производная степенной функции (210). 5. Таблица производных простейших элементарных функций (210). 6. Таблица дифференциалов простейших элементарных функций (212). 7. Логарифмическая производная. Производная степенно-показательной функции (212).
§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков . . . 215 1. Понятие производной л-го порядка (213). 2. п-е производные некоторых функций (214). 3. Формула Лейбница для я-й производной произведения двух функций (216). 4. Дифференциалы высших порядков (218).
§ 7. Дифференцирование функции, заданной параметрически . 220*
§ 8. Производная векторной функции 222
Глава 6. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ 224
§ 1. Возрастание (убывание) функции в точке. Локальный экстремум 224
§ 2. Теорема о нуле производной 226
§ 3. Формула конечных приращений (формула Лагранжа) . . 227 § 4. Некоторые следствия из формулы Лагранжа .... 229» 1. Постоянство функции, имеющей на интервале равную нулю производную (229). 2. Условия монотонности функции на интервале (230). 3. Отсутствие разрывов первого рода и устранимых разрывов у производной (231). 4. Вывод некоторых неравенств (233). § 5. Обобщенная формула конечных приращений (формула Коши) . . 234
§ 6. Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) . . . 235
1. Раскрытие неопределенности вида (235). Раскрытие неопределенности вида — (240). 3. Раскрытие неопределенностей других видов (243).
!§ 7. Формула Тейлора « 245
§ 8. Различные формы остаточного члена. Формула Маклорена 248
1. Остаточный член в форме Лагранжа, Коши и Пеано (248).
2. Другая запись формулы Тейлора (250). 3. Формула Маклорена (251).
§ 9. Оценка остаточного члена. Разложение некоторых элементарных функций . . . . . 251
1. Оценка остаточного члена для произвольной : функции (251). 2. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций (252).
1§ 10. Примеры приложений формулы Маклорена 256.
1. Вычисление числа е на ЭВМ (256). 2. Доказательство иррациональности числа е (257). 3. Вычисление значений тригонометрических функций (258). 4. Асимптотическая оценка элементарных функций и вычисление пределов (259).
Глава 7. ИССЛЕДОВАНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ И ОТЫСКАНИЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫХ ЗНАЧЕНИИ 262
§ 1. Отыскание стационарных точек 262
1. Признаки монотонности функции (262). 2. Отыскание стационарных точек (262). 3. Первое достаточное условие экстремума (264). 4. Второе достаточное условие экстремума '(265). 5. Третье достаточное условие экстремума (267). 6. Экстремум функции, недифференцируемой в данной точке (268). 7. Общая схема отыскания экстремумов (270).
§ 2. Выпуклость графика функции 271
§ 3. Точки перегиба 273
1. Определение точки перегиба. Необходимое условие перегиба (273). 2. Первое достаточное условие перегиба (276). 3. Некоторые обобщения первого достаточного условия перегиба (276). 4. Второе достаточное условие перегиба (277). 5. Третье достаточное условие перегиба (278).
§ 4. Асимптоты графика функции 279
§ 5. Построение графика функции 281
§ 6. Глобальные максимум и минимум функции на сегменте.
Краевой экстремум 284
1. Отыскание максимального и минимального значений функции, определенной на сегменте (284). 2. Краевой экстремум (286). 3. Теорема Дарбу (287). Дополнение. Алгоритм отыскания экстремальных значений функции, использующий только значения этой функции . . . 288
Глава 8. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 291
§ 1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла 291 1. Понятие первообразной функции (291). 2. Неопределенный интеграл (292). • 3.'Основные свойства неопределенного интеграла (293). 4. Таблица основных неопределенных интегралов (294).
§ 2. Основные методы интегрирования 297
1, Интегрирование замены переменной (подстановкой) (297).
2. Интегрирование по частям (300).
§ 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях . 303 1. Краткие сведения о комплексных числах (304). 2. Краткие сведения о корнях алгебраических многочленов (307). 3. Разложение алгебраического многочлена с вещественными коэффициентами на произведение неприводимых множителей (311). 4. Разложение правильной рациональной дроби на сумму простейших дробей (312). 5. Интегрируемость рациональной дроби в элементарных функциях (318). 6. Интегрируемость в элементарных функциях некоторых тригонометрических и иррациональных выражений (321).
§ 4. Эллиптические интегралы , 327
Глава 9. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ РИМАНА 330
§ 1. Определение интеграла. Интегрируемость . . . . . 330 § 2. Верхние и нижние суммы и их свойства . . . . . 334 1. Определение верхней и нижней сумм (334). 2. Основные свойства верхних и нижних сумм (335). § 3. Теоремы о необходимых и достаточных условиях интегрируемости функций. Классы интегрируемых функций . . . 339
1. Необходимые и достаточные условия интегрируемости (339).
2. Классы интегрируемых функций (341).
'§ 4. Свойства определенного интеграла. Оценки интегралов. Теоремы о среднем значении . 347
1. Свойства интеграла (347). 2. Оценки интегралов (350).
§ 5. Первообразная непрерывной функции. Правила интегрирования функций 357
1. Первообразная (357). 2. Основная формула интегрального исчисления (359). 3. Важные правила, позволяющие вычислять определенные интегралы (360). 4. Остаточный член формулы Тейлора в интегральной форме (362).
§ 6. Неравенство для сумм и интегралов 365
1. Неравенство Юнга (365). 2. Неравенство Гёльдера для сумм (366). 3. Неравенство Минковского для сумм (367). 4. Неравенство Гёльдера для интегралов (367). 5. Неравенство Минковского для интегралов (368).
§ 7. Дополнительные сведения об определенном интеграле Римана 369
1. Предел интегральных сумм по базису фильтра (369).
2. Критерий интегрируемости Лебега (370).
Дополнение 1. Несобственные интегралы 370
§ 1. Несобственные интегралы первого рода 371
1. Понятие несобственного интеграла первого рода (371).
2. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла первого рода. Достаточные признаки сходимости (373). 3. Абсолютная и условная сходимость несобственных интегралов (375). 4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям (378).
§ 2. Несобственные интегралы второго рода 379
§ 3. Главное значение несобственного интеграла .. 382
Дополнение 2. Интеграл Стилтьеса 384
1. Определение интеграла Стилтьеса и условия его существования (384). 2. Свойства интеграла Стилтьеса (389).
Глава 10. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 391
§ 1. Длина дуги кривой 391
1. Понятие простой кривой (391). 2. Понятие параметризуемой кривой (392). 3. Длина дуги кривой. Понятие спрямляемой кривой (394). 4. Критерий спрямляемости кривой. Вычисление длины дуги кривой (397). 5. Дифференциал дуги (402). 6. Примеры (403).
!§ 2. Площадь плоской фигуры 405
1. Понятие границы множества и плоской фигуры (405).
2. Площадь плоской фигуры (406). 3. Площадь криволинейной
трапеции и криволинейного сектора (414). 4. Примеры вычисления площадей (416).
§ 3. Объем тела в пространстве 418
1. Объем тела (418). 2. Некоторые классы кубируемых тел (419). 3. Примеры (421).
Глава 11. ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИИ И ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ ... 422
§ 1. Приближенные методы вычисления корней уравнений . . 422 1. Метод «вилки» (422). 2. Метод итераций (423). 3. Методы хорд и касательных (426).
§ 2. Приближенные методы вычисления определенных интегралов 431 1. Вводные замечания (431). 2. Метод прямоугольников (434).
3. Метод трапеций (436). 4. Метод парабол (438).
Глава 12. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ .... 442
§ 1. Понятие функции т переменных 442
1. Понятие m-мерного координатного и гамерного евклидова пространств (442). 2. Множества точек m-мерного евклидова пространства (445). 3. Понятие функции т переменных (449).
§ 2. Предел функции га переменных 451
1. Последовательности точек пространства Ет (451). 2. Свойство ограниченной последовательности точек Ет (454). 3. Предел функции т переменных (455). 4. Бесконечно малые функции т переменных (458). 5. Повторные пределы (459).
§ 3. Непрерывность функции га переменных 460
1. Понятие непрерывности функции m переменных (460).
2. Непрерывность функции т переменных по одной переменной (462). 3. Основные свойства непрерывных функций нескольких переменных (465).
§ 4. Производные и дифференциалы функции нескольких переменных 469
1. Частные производные функции нескольких переменных (469). 2. Дифференцируемость функции нескольких переменных (470). 3. Геометрический смысл условия дифференцируемое функции двух переменных (473). 4. Достаточные условия дифференцируемости (474). 5. Дифференциал функции нескольких переменных (476). 6. Дифференцирование сложной функции (476). 7. Инвариантность формы первого дифференциала (480). 8. Производная по направлению. Градиент (481).
§ 5. Частные производные и дифференциалы высших порядков .. 485 1. Частные производные высших порядков (485). 2. Дифференциалы высших порядков (490). 3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме' Лагранжа и в интегральной форме (497). 4. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (500).
6. Локальный экстремум функции т переменных .... 504 1. Понятие экстремума функции т переменных. Необходимые условия экстремума (504). 2. Достаточные условия локального экстремума функции га переменных (506). 3. Случай функции двух переменных (512).
Дополнение 1. Градиентный метод поиска экстремума сильно выпуклой функции 514
1. Выпуклые множества и выпуклые функции (515). 2. Существование минимума у сильно выпуклой функции и единственность минимума у строго выпуклой функции (521).
3. Поиск минимума сильно выпуклой функции (526).
Дополнение 2. Метрические, нормированные пространства . . 535
Метрические пространства. 1. Определение метрического пространства. Примеры (535). 2. Открытые и замкнутые множества (538). 3. Прямое произведение метрических пространств (540). 4. Всюду плотные и совершенные множества (541). 5. Сходимость. Непрерывные отображения (543). 6. Компактность (545). 7. Базис пространства (548).
Свойства метрических пространств 550
Топологические пространства 558
1. Определение топологического пространства. Хаусдорфово топологическое пространство. Примеры (558). 2. Замечание о топологических пространствах (562).
Линейные нормированные пространства, линейные операторы 564
1. Определение линейного пространства. Примеры (564).
2. Нормированные пространства. Банаховы пространства.
Примеры (566). 3. Операторы в линейных и нормированных пространствах (568). 4. Пространство операторов (569).
5. Норма оператора (569). 6. Понятие гильбертова пространства (572).
Дополнение 3. Дифференциальное исчисление в линейных нормированных пространствах . 574
1. Понятие дифференцируемое. Сильная и слабая дифференцируемость в линейных нормированных пространствах (575).
2. Формула Лагранжа конечных приращений (581).
3. Связь между слабой и сильной дифференцируемостью (584). 4. Дифференцируемость функционалов (587). 5. Интеграл от абстрактных функций (587). 6. Формула Ньютона—Лейбница для абстрактных функций (589). 7. Производные второго порядка (592). 8. Отображение т-мерного евклидова пространства в га-мерное (595). 9. Производные и дифференциалы высших порядков (598). 10. Формула Тейлора для отображения одного нормированного пространства в другое (599).
Исследование на экстремум функционалов в нормированных
пространствах . 602
1. Необходимое условие экстремума (602). 2. Достаточные условия экстремума (605).
Глава 13. НЕЯВНЫЕ ФУНКЦИИ 609
§ 1. Существование и дифференцируемость неявно заданной функции 610
1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (610). 2. Вычисление частных производных неявно заданной функции (615). 3. Особые точки поверхности и плоской кривой (617). 4. Условия, обеспечивающие существование для функции у=}{х) обратной функции (618).
§ 2. Неявные функции, определяемые системой функциональных
уравнений 619
1. Теорема о разрешимости системы функциональных уравнений (619). 2. Вычисление частных производных функций, неявно определяемых посредством системы функциональных уравнений (624). 3. Взаимно однозначное отображение двух множеств m-мерного пространства (625).
§ 3. Зависимость функций 626
1. Понятие зависимости функций. Достаточное условие независимости (626). 2. Функциональные матрицы и их приложения (628).
§ 4. Условный экстремум . 632
1. Понятие условного экстремума (632). 2. Метод неопределенных множителей Лагранжа (635). 3. Достаточные . условия (636). 4. Пример (637).
Дополнение 1. Отображения банаховых пространств. Аналог теоремы о неявной функции 638
1. Теорема о существовании и дифференцируемости неявной функции (638). 2. Случай конечномерных пространств (644). 3. Особые точки поверхности в пространстве п измерений. Обратное отображение (647). 4. Условный экстремум в случае отображений нормированных пространств (651).


Ч. 2. - Продолжение курса.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
ГЛАВА 1. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫ 7
§ 1. Понятие числового ряда 7
1. Сходящиеся и расходящиеся ряды (7). 2. Критерий Коши сходимости ряда (10)
§ 2. Ряды с неотрицательными членами 12"
1. Необходимое и достаточное условие сходимости ряда с неотрицательными членами (12). 2. Признаки сравнения (13). 3. Признаки Даламбера и Коши (16). 4. Интегральный признак Коши — Мак-лорена (21). 5, Признак Раабе (24). 6. Отсутствие универсального ряда сравнения (27)
§ 3. Абсолютно и условно сходящиеся ряды 28
1. Понятия абсолютно и условно сходящихся рядов (28). 2. О перестановке членов условно сходящегося ряда (30). 3. О перестановке членов абсолютно сходящегося ряда (33)
§ 4. Признаки сходимости произвольных рядов 35
§ 5. Арифметические операции над сходящимися рядами 41
§ 6. Бесконечные произведения 44
1. Основные понятия (44). 2. Связь между сходимостью бесконечных произведений и рядов (47). 3. Разложение функции sin x в бесконечное произведение (51)
§ 7. Обобщенные методы суммирования расходящихся рядов .... 55
1. Метод Чезаро (метод средних арифметических) (56). 2. Метод суммирования Пуассона — Абеля (57)
§ 8. Элементарная теория двойных и повторных рядов 59
ГЛАВА 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ 67
§ 1. Понятия сходимости в точке и равномерной сходимости на множестве 67
1. Понятия функциональной последовательности и функционального ряда (67). 2. Сходимость функциональной последовательности (функционального ряда) в точке и на множестве (69). 3. Равномерная сходимость на множестве (70). 4. Критерий Коши равномерной сходимости последовательности (ряда) (72)
§ 2. Достаточные признаки равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов 74
§ 3. Почленный переход к пределу 83
§ 4. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование функциональных последовательностей и рядов 87
1. Почленное интегрирование (87). 2. Почленное дифференцирование (90). 3. Сходимость в среднем (94)
§ 5. Равностепенная непрерывность последовательности функций ... 97
§ 6. Степенные ряды 102
1. Степенной ряд и область его сходимости (102). 2. Непрерывность суммы степенного ряда (105). 3. Почленное интегрирование и почленное дифференцирование степенного ряда (105)
§ 7. Разложение функций в степенные ряды 107
1. Разложение функции в степенной ряд (107). 2. Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (108). 3. Элементарные представления о функциях комплексной переменной (ПО). 4. Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами (112)
ГЛАВА 3. ДВОЙНЫЕ И n-КРАТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 117
§ 1. Определение и условия существования двойного интеграла . . . 117
1. Определение двойного интеграла для прямоугольника (117).
2. Условия существования двойного интеграла для прямоугольника (119). 3. Определение и условия существования двойного интеграла для произвольной области (121). 4. Общее определение двойного интеграла (123)
"§ 2. Основные свойства двойного интеграла 127
§ 3. Сведение двойного интеграла к повторному однократному . . . 129 1. Случай прямоугольника (129). 2. Случай произвольной области (130)
§ 4. Тройные и n-кратные интегралы 133
§ 5. Замена переменных в n-кратном интеграле 138
§ 6. Вычисление объемов n-мерных тел 152
§ 7. Теорема о почленном интегрировании функциональных последовательностей и рядов 157
$ 8. Кратные несобственные интегралы 159
1. Понятие кратных несобственных интегралов (159). 2. Два признака сходимости несобственных интегралов от неотрицательных функций (160). 3. Несобственные интегралы от знакопеременных функций (161). 4. Главное значение кратных несобственных интегралов (165)
ГЛАВА 4. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 167
§ 1. Понятия криволинейных интегралов первого и второго рода . . . 167
§ 2. Условия существования криволинейных интегралов 169
ГЛАВА 5. ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 175
§ 1. Понятия поверхности и ее площади 175
1. Понятие поверхности (175). 2. Вспомогательные леммы (179).
3. Площадь поверхности (181)
§ 2. Поверхностные интегралы 185
ГЛАВА 6. ТЕОРИЯ ПОЛЯ. ОСНОВНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ФОРМУЛЫ АНАЛИЗА 190
§ 1. Обозначения. Биортогональные базисы. Инварианты линейного оператора 190
1. Обозначения (190). 2. Биортогональные базисы в пространстве Е" (191). 3. Преобразования базисов. Ковариантные и контрвариантные координаты вектора (192). 4. Инварианты линейного оператора. Дивергенция и ротор (195). 5. Выражения для дивергенции и ротора линейного оператора в ортонормированном базисе (Щ8)
§ 2. Скалярные и векторные поля. Дифференциальные операторы векторного анализа 198
!. Скалярные и векторные поля (198). 2. Дивергенция, ротор и производная по направлению векторного поля (203). 3. Некоторые другие формулы векторного анализа (204). 4. Заключительные замечания (206)
§ 3. Основные интегральные формулы анализа 207
1. Формула Грина (207). 2. Формула Остроградского — Гаусса (211). 3. Формула Стокса (214)
§ 4. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования 218
§ 5. Некоторые примеры приложений теории поля 222
1. Выражение площади плоской области через криволинейный интеграл (222). 2. Выражение объема через поверхностный интеграл (223)
Дополнение к главе 6. Дифференциальные формы в евклидовом пространстве 225
§ 1. Знакопеременные полилинейные формы 225
1. Линейные формы (225). 2. Билинейные формы (226). 3. Полилинейные формы (227). 4. Знакопеременные полилинейные формы (228). 5. Внешнее произведение знакопеременных форм (228). 6. Свойства внешнего произведения знакопеременных форм (231). 7. Базис в пространстве знакопеременных форм (233)
§ 2. Дифференциальные формы 235
1. Основные обозначения (235). 2. Внешний дифференциал (236). 3. Свойства внешнего дифференциала (237;)
§ 3. Дифференцируемые отображения 2391
1. Определение дифференцируемых отображений (239). 2. Свойства отображения ф* (240)
§ 4. Интегрирование дифференциальных форм 243
1. Определения (243). 2. Дифференцируемые цепи (245). 3. Форму¬ла Стокса (248). 4. Примеры (250)
ГЛАВА 7. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРОВ 252
§ 1. Равномерное по одной переменной стремление функции двух переменных к пределу по другой переменной 252
1. Связь равномерного по одной переменной стремления функции двух переменных к пределу по другой переменной с равномерной сходимостью функциональной последовательности (252). 2. Критерий Коши равномерного стремления функции к предельной (254). 3. Применения понятия равномерного стремления к предельной функции (254)
§ 2. Собственные интегралы, зависящие от параметра 256
1. Свойства интеграла, зависящего от параметра (256). 2. Случай, когда пределы интегрирования зависят от параметра (257)
§ 3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра 259
1. Несобственные интегралы первого рода, зависящие от параметра (260). 2. Несобственные интегралы второго рода, зависящие от параметра (266)
§ 4. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению некоторых несобственных интегралов 267
§ 5. Интегралы Эйлера 271
к Г-функция (272). 2. В-функция (275). 3. Связь между эйлеровыми интегралами (277). 4. Примеры (279)
§ 6. Формула Стирлинга 280
§ 7. Кратные интегралы, зависящие от параметров 282
1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметров (282).
2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра (283)
ГЛАВА 8. РЯДЫ ФУРЬЕ 287
§ 1. Ортонормированные системы и общие ряды Фурье 287
1. Ортонормированные системы (287). 2. Понятие об общем ряде Фурье (292)
§ 2. Замкнутые и полные ортонормированные системы 295
§ 3. Замкнутость тригонометрической системы и следствия из нее . . 298 1. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими многочленами (298). 2. Доказательство замкнутости тригонометрической системы (301). 3. Следствия замкнутости тригонометрической системы (303)
§ 4. Простейшие условия равномерной сходимости и почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье 304
1. Вводные замечания (304). 2. Простейшие условия абсолютной и равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье (306).
3. Простейшие условия почленного дифференцирования тригонометрического ряда Фурье (308)
§ 5. Более точные условия равномерной сходимости и условия сходимости в данной точке 309>
1. Модуль непрерывности функции. Классы Гёльдера (309). 2. Выражение для частичной суммы тригонометрического ряда Фурье (311). 3. Вспомогательные предложения (314). 4. Принцип локализации (317). 5. Равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье для функции из класса Гёльдера (319). 6. О сходимости тригонометрического ряда Фурье кусочно гёльдеровой функции (325). 7. Суммируемость тригонометрического ряда Фурье непрерывной функции методом средних арифметических (329). 8. Заключительные замечания (331)
§ 6. Кратные тригонометрические ряды Фурье 332
1. Понятия кратного тригонометрического ряда Фурье и его прямоугольных и сферических частичных сумм (332). 2. Модуль непрерывности и классы Гёльдера для функции N переменных (334). 3. Условия абсолютной сходимости кратного тригонометрического ряда Фурье (335)
ГЛАВА 9. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 33»
§ 1. Представление функции интегралом Фурье 339
1. Вспомогательные утверждения (340). 2. Основная теорема. Формула обращения (342). 3. Примеры (347)
§ 2. Некоторые свойства преобразования Фурье 34&
§ 3. Кратный интеграл Фурье 352