Лекции по теоретической механике. Павленко Ю.Г.

М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. - 392с.

Цель учебника - изложить фундаментальные принципы и методы теоретической механики, научить читателя активно применять современный математический аппарат для решения конкретных задач динамики, подготовить к анализу широкого круга проблем, изучаемых в курсе теоретической физики. Основное внимание уделено исследованию классических и современных задач механики в рамках лагранжева и гамильтонова подходов, методам `гамильтонизации` систем нелинейных уравнений и новым методам интегрирования канонических систем.

Для студентов физических и механико-математических факультетов университетов, студентов втузов, обучающихся по специальностям `Механика` и `Прикладная математика, преподавателей и аспирантов.

Формат: djvu / zip

Размер: 4,7 Мб

Скачать / Download файл

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие .................................... 7

ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ НЬЮТОНА И ЛАГРАНЖА .......... 9

Лекция 1. Скалярные, векторные и тензорные поля в евклидовом пространстве ................................. 9

Многообразие. Координаты. Евклидово пространство. Векторы в евклидо­вом пространстве. Скалярное произведение векторов. Векторное произведение векторов. Скалярное и векторное поля на многообразии. Тензоры в евклидовом пространстве. Диагонализация матрицы Производная определителя.

Лекция 2. Кинематика .......................... 19

Система отсчета. Галилеево пространство. Кинематика. Базисные векто­ры. Угловая скорость одного базиса относительно другого. Два вращающихся базиса. Частица в пространстве. Скорость и ускорение в декартовых координа­тах. Скорость и ускорение в цилиндрических координатах. Естественные коорди­наты.

Лекция 3. Законы Ньютона ....................... 25

Инерциальные системы отсчета. Силы в механике. Второй закон Ньютона. Третий закон Ньютона. Принцип относительности Галилея. Приближение внешнего

поля.

Лекция 4. Импульс, момент импульса, потенциальная энергия. За­коны изменения динамических переменных .............. 29

Закон изменения импульса системы. Закон изменения момента импульса систе­мы. Закон изменения кинетической энергии. Потенциальная энергия взаимодей­ствия частиц Закон сохранения полной энергии. Уравнение Мещерского. Теорема вириала.

Лекция 5. Движение свободной частицы во внешнем поле ..... 35 Одномерное движение в консервативном поле. Движение заряда в электромаг­нитном поле. Движение частицы в центрально-симметричном поле.

Лекция 6. Задача Кеплера ........................ 40

Потенциальная энергия взаимодействия однородного шара и частицы. Первые

интегралы. Решение задачи Кеплера. Движение по эллипсу. Траектория частицы

в пространстве. Орбитальные полеты. Коррекция траектории.

Лекция 7. Уравнения Лагранжа ..................... 51

Лагранжиан, функционал действия. Принцип Гамильтона-Остроградского (или принцип наименьшего действия) Первые интегралы. Теорема Нетер. Движение системы во внешнем поле. Лагранжиан заряженной частицы в заданном электромаг­нитном поле. Вектор-потенциал магнитного поля соленоида.

Лекция 8. Движение относительно неинерциальных систем отсчета ..................... 60

Лагранжиан частицы в поступательно движущейся системе отсчета и во вращаю­щейся системе отсчета.

ГЛАВА 2. ДВИЖЕНИЕ СИСТЕМЫ ЧАСТИЦ .............. 64

Лекция 9. Система N частиц ...................... 64

Лагранжиан системы N частиц. Лагранжевы движения. Уравнения движения в относительных координатах. Задача трех тел. Переменные Якоби.

Лекция 10. Задача двух тел ........................ 69

Лагранжиан и уравнения движения. Движение в системе центра масс (СЦМ). Приближение внешнего поля. Система Земля-Луна в поле тяготения Солнца. Гра­витационная рогатка. Движение двух зарядов во внешнем поле.

Лекция 11. Упругое рассеяние частиц .................. 75

Кинематика упругого рассеяния. Динамическая теория рассеяния. Сечение рассеяния реакции pi + Р2 —>■ pi + р^- Упругое рассеяние. Дифференциаль­ные распределения в лабораторной системе. Обратная задача рассеяния. Условие классичности рассеяния. Рассеяние тождественных частиц.

Лекция 12. Ограниченная задача трех тел ................ 87

Лагранжиан ограниченной задачи трех тел. Ограниченная круговая задача трех тел. Точки либрации. Вклад Луны в ускорение свободного падения.

Лекция 13. Межпланетные полеты .................... 93

Солнечная система. Наша Галактика и Вселенная. Полеты к Луне. Полеты к Венере. Полеты к Марсу. Космический вояж к дальним планетам. Сфера действия. Вторая космическая скорость. Третья космическая скорость. Четвёртая космическая скорость. Гомановская траектория перелета. Движение аппарата внутри сферы действия планеты-цели.

ГЛАВА 3. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА СИСТЕМ СО СВЯЗЯМИ ... 108

Лекция 14. Уравнения Лагранжа 1-го рода ............... 108

Голономные связи. Силы реакции. Виртуальные перемещения. Идеальные

связи. Метод неопределенных множителей Лагранжа. Закон изменения полной

энергии. Принцип Д'Аламбера—Лагранжа. Неголономные связи.

Лекция 15. Уравнения Лагранжа в независимых координатах .... 118 Обобщенные координаты. Уравнения Лагранжа второго рода. Обобщенные импульс и энергия. Принцип Гамильтона. Движение в неиперциальной системе

отсчета.

Лекция 16. Движение частицы по поверхности ............. 124

Координаты на поверхности. Векторные и тензорные поля на многообразии. Метрика на поверхности. Поднятие и опускание индексов. Геодезические кри­вые. Локально-геодезическая система координат. Ковариантное дифференцирова­ние. Тензор кривизны. Тензор внешней кривизны. Расхождение геодезических.

ГЛАВА 4. ЛИНЕЙНЫЕ И НЕЛИНЕЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ ...... 136

Лекция 17. Свободные колебания ..................... 136

Одномерные колебания. Осциллятор в среде с линейным трением. Фазо­вый портрет линейного осциллятора. Система с s степенями свободы. Линейные колебания консервативной системы. Условия существования ограниченных реше­ний. Биения. Нормальные координаты.

Лекция 18. Вынужденные колебания ................... 149

Одномерные колебания. Запаздывающая функция Грина. Энергия, потреб­ляемая системой. Резонанс. Переходный и установившийся режимы. Колебания связанных систем.

Лекция 19. Общие свойства нелинейных систем ............ 161

Нелинейные системы. Нелинейные системы на плоскости. Синэргетика. Устойчивость по Ляпунову. Функция Ляпунова. Устойчивость по линейному при­ближению. Предельный цикл. Бифуркация. Бифуркация Хопфа. Бифуркация удвоения периода. Переход к хаосу. Детерминированный хаос. Система Лорен-

ца. Странный аттрактор. Размерность Хаусдорфа. Фракталы. Хаос в динамических системах.

Лекция 20. Нелинейные колебания .................... 184

Решение нелинейных уравнений методом усреднения. Автоколебания. Выну­
жденная синхронизация.
Система с медленно изменяющимися параметра­
ми. Адиабатические инварианты. Параметрический резонанс в нелинейной си­
стеме. Многомерные системы.

ГЛАВА 5. ДВИЖЕНИЕ ТВЕРДОГО ТЕЛА ................ 198

Лекция 21. Кинематика и динамические переменные твердого тела 198 Координаты твердого тела. Углы Эйлера. Угловая скорость. Скорость и ускорение частиц твердого тела. Мгновенная ось вращения. Чистое качение.

Динамические переменные. Тензор инерции. Твердое тело с одной неподвижной точкой.

Лекция 22. Уравнения Эйлера ...................... 206

Равновесие твердого тела. Уравнения Эйлера. Движение твердого тела с одной закрепленной точкой. Движение тела с неподвижной осью. Оси Резаля. Гироско­пический момент.

Лекция 23. Уравнения Лагранжа ..................... 221

Движение свободного твердого тела. Обобщенные импульсы и силы. Дви­жение твердого тела с одной неподвижной точкой в однородном поле тяжести (слу­чай Лагранжа). Плоскопараллельное качение твердого тела. Движение твердого тела относительно неинерциальной системы отсчета, вращающейся с угловой скоро­стью П (£). Космический аппарат (КА) в ньютоновом поле тяготения. Движение КА относительно центра масс. Гравилет.

Лекция 24. Электромеханика ....................... 233

Квазистационарные поля и токи. Функция Лагранжа электромеханической си­стемы линейных проводников. Уравнения Лагранжа. Сила Ампера и момент силы Ампера. Магнитный момент проводника с током. Закон изменения обобщенной энергии. Нейтральная частица в электромагнитном поле. Твердое неферромаг­нитное тело в магнитном поле.

ГЛАВА 6. КАНОНИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ............... 250

Лекция 25. Уравнения Гамильтона .................... 250

Преобразование Лежандра. Гамильтониан. Канонические уравнения. Функ­ционал уравнений Гамильтона. Скобки Пуассона. Теорема Пуассона. Расширен­ное фазовое пространство. Интегрируемость гамильтоновых систем. Фазовый по­ток. Теорема Лиувилля.

Лекция 26. Канонические преобразования ............... 261

Метод вариации канонических постоянных Производящие функции канониче­ских преобразований Линейные канонические преобразования. Диагонализация

гамильтониана. Операторная форма канонических преобразований. Канонические преобразования в классической теории магнитного резонанса.

Лекция 27. Уравнение Гамильтона-Якоби ............... 278

Полный интеграл. Теорема Якоби. Метод разделения переменных. Перемен­ные действие-угол. Метод характеристик. Метод Фока. Задача Кэши. Класси­ческая механика и квантовая механика. Уравнение Гамильтона—Якоби ър - представ­лении. Элементы гамильтоновой оптики.

Лекция 28. Каноническая теория возмущений ............. 297

Построение формальных рядов. Структура ряда теории возмущений. Условия существования решения. Интегрирование уравнений движения. Реакция системы

на внешнее возмущение. Спонтанное и индуцированное излучение классических систем.

Лекция 29. Метод усреднения канонических систем .......... 314

Секулярные члены. Методы усреднения гамильтоновых систем. Канониче­ское преобразование к медленным переменным. Локализация энергии в нелиней­ной системе. Параметрический резонанс. Система в быстроосциллирующем поле. Заряженная частица в высокочастотном поле.

Лекция 30. Метод удвоения переменных ................. 331

Гамильтониан нелинейной системы первого порядка. Обращение интегралов. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений. Усреднение слабонелиней­ных систем. Линейные сингулярно-возмущенные уравнения. Система общего вида.

Лекция 31. Гамильтонова теория специальных функций ....... 344

Гамильтонова форма линейного уравнения второго порядка. Преобразование аргумента. Нормализация гамильтониана. Преобразование Лиувилля—Грина. Пре­образование Беклунда. Высшие ВКБ-приближения. Решение в окрестности обык­новенной точки. Решение в окрестности регулярной особой (или правильной) точки. Исследование асимптотических разложений.

ГЛАВА 7. РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА .............. 357

Лекция 32. Заряд в электромагнитном поле ...............357

Пространство Минковского. Преобразование Лоренца. Четырехмерные ско­рость и импульс частицы. Масса системы невзаимодействующих частиц. Элек­тромагнитное поле. Лагранжиан и уравнения движения. Заряд в плосковолновом поле. Уравнения Гамильтона. Канонические преобразования. Уравнение Гамильто-на-Якоби. Ковариантная теория возмущений в классической электродинамике.

Приложение. Эллиптические функции. ....................381

Список литературы. ................................ 382