Высшая математика. Матрица

контрольная работа: Математика

Документы: [1]   Word-181518.doc Страницы: Назад 1 Вперед

Министерство образования

Российской Федерации


ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР)










КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА











2003

1(Т85.РП). Найдите матрицу D=(AC-AB), если

А=  1   0     ,C=   3   4    4    ,  B=  -3   1   4   .

       2   -2             1  -3   5              2   -3   4

(В ответ ввести вторую строку матрицы D.)

Решение:

Размеры матриц А и С согласованны, т.к. число элементов в строке матрицы А равно числу элементов в столбце  матрицы В.

а*с=    1     0  *   3   4   4   =   1*3+0*1      1*4+0*(-3)    1*4+0*5   =     3   4    4  

              2   -2       1  -3   5        2*3+(-2)*1   2*4-2*(-3)     2*4-2*5          4  14   -2


А*В=   1      0  *  -3   1   4   =   1*(-3)+0*2  1*1+0*(-3)    1*4+0*4  =   -3    1   4

             2    -2       2  -3   4         2*(-3)-2*2   2*1-2*(-3)     2*4-2*4        -10  8   0


D=А*С-А*В=      3    4     4   _    -3    1    4    =     3-(-3)     4-1      4-4   =   6    3    0

                             4   14   -2        -10  8   0            4-(-10)   14-8    -2-0        14  6   -2

Ответ :14 , 6 , -2.

2(3ТО).Вычислите определитель D= 2   2    1   0

                                                               1   1    1   0

                                                               1   2    2   1

                                                               0   3    2   2

Решение:

2   2   1   0

1   1   1   0

1   2   2   1  =

0   3   2   2

Умножим третью строку на (-2) и сложим с четвёртой строкой , результат запишем

в четвёртую строку:

   2    2  1   0

   1    1    1   0

= 1    2    2   1    =

   -2  -1   -2  0

Данный определитель разложим по элементам четвёртого столбца :

                  3+4 2     2      1 

= 1*(-1)    * 1     1      1    =

                    -2   -1     -2

Умножим вторую строку  на  (-2) и сложим  с первой, результат запишем в первую строку . Умножим вторую строку  на  2  и сложим с  третьей , результат запишем в третью строку .

       0    0    -1

= -  1    1     1     = - (-1)  1+3   * (-1) *   1   1    = 1-0 =1;

       0    1     0                                         0   1

Ответ: D = 1. 


3(598.Р7).Решите матричное уравнение

          1      2      1                 1       1      -1

X*     4      3     -2    = 16*   -1      2       3 

         -5     -4    -1                 0      -1      -2  .

Решение:

A*X=B ,  X=A-1 *B

Найдём  det A:

             1      2      1    

det A=  4      3     -2 = 1*3*(-1)+1*4*(-4)+2*(-2)*(-5)-1*3*(-5)-2*4*(-1)-1*(-2)*(-4)=

             -5    -4    -1

=-19+20+15-8+8=16 ;

det= 16 тЙа 0;               

Составим матрицу А -1 , обратную матрицы А:

А1 1   =  3    -2    = -3 -8 = -11

              -4   -1  

А12   = -   4    -2    = -(-4-10) = 14

                -5    -1

А13   =  4      3    = -16+15 = -1

             -5    -4

A2  = -   2       1    = -(-2+4) = -2

                -4     -1  

A22   =  1       1   = -1+5 = 4

             -5     -1

A2  = -   1       2   = - (-4+10) = -6

                -5     -4  

A31   =   2       1   = - 4-3 = -7

               3      -2  

A3   = -   1       1   = - (-2-4) = 6 

-2      

A33    =   1       2  = 3 -8 = -5

                4       3      


                 -11/16       -2/16       -7/16

А-1    =      14/16        4/16         6/16

                  -1/16        -6/16       -5/16     


                 -11/16       -2/16       -7/16            1*16      1*16       -1*16          

Х      =      14/16         4/16         6/16    *    -1*16      2*16         3*16    =    

                 -1/16         -6/16       -5/16            0*16     -1*16        2*16         


      -11*1+(-2*(-1))+(-7*0)    -11*1+(-2*2)+(-7*(-1))     -11*(-1)+(-2*3)+(-7*2)

=   14*1+4*(-1)+6*0              14*1+4*2+6*(-1)              14*(-1)+4*3+6*2     =     

      -1*1+(-6*(-1))+(-5*0)      -1*1+(-6*2)+(-5*(-1))       -1*(-1)+(-6*3)+(-5*2)

        -9       -8        -9   

=     10       16       10   

        5         -8       -27 

Ответ : Х = : -9 , -8 , -9 : 10 , 16 , 10 : 5 , -8 , -27 .


4(4П5).При каком значении параметра p , если он существует ,

                                                         1       2     -2    1

последняя строка матрицы А  =   2      -3     3     2     является линейной комбинацией первых

                                                         1      -1      1      2   

                                                         8      -7      p      11

трёх строк?

Решение :

Вычислим det A:

                1      2      -2     1            1       2        -2       1           -7      7        0           -7     7       0

det A =    2      -3     3      2      =    0       -7       7        0     =    3      -3        -1    =   3      -3      -1   =

                1      -1     1      2            0       3        -3       -1          23     -16-p  -3         14    -7-p   0

                8      -7      p     11          0       23      -16-p  -3             

-1*(-1) 2+3  *    -7      7      = 49 + 7p - 98 = 7p - 49

                      14     -7-p  

Если det A=0 , то ранг матрицы А равен двум , т.е. 7p - 49 = 0 , p = 7.

Третья строка по теореме о базисном миноре является комбинацией первых двух .

Обозначим коэффициенты этой комбинации через О»1 и О»2 , О»3 ,тогда (8,-7,7,11) = О»1(1,2,-2,1)+ + О»2 (2,-3,3,2) + О»3 (1,-1,1,2);

Имеем систему :  О»1 + 2О»2 + О»3 = 8        * 2

                              2О»1- 3О»- О»= -7

                              -2О»1 + 3О»2 + О»3 = 7

                              О»1 + 2О»2 + 2О»3 = 11

Решим  данную систему методом Гаусса :

   О»1 + 2О»2 + О»3 = 8            1) О»3 = 3         

         7О»2 + 3О»3 = 23          2) 7О»2 + 9 = 23

         7О»2 + 3О»3 = 23              7О»2 = 14

                    О»3 = 3                  О»2 = 2

                                          3) О»1 + 2*2 + 3 =8   

                                              О»1 = 1

коэффициенты линейных комбинаций О»1 = 1 ; О»2 = 2 ; О»3 = 3 ;

Ответ :  (8,-7,7,11) = 1(1,2,-2,1)+ 2(2,-3,3,2) + 3(1,-1,1,2) .


5. Относительно канонического базиса в R3 даны четыре вектора f1(1,1,1) , f2 (1,2,3) ,               f3 (1,3,6), x(4,7,10). Докажите, что векторы f1, f2 , f3 можно принять за новый базис в R3 . (ТР0.РП) . Найдите координаты вектора x в базисе fi .

Составим определитель из компонент векторов и f1, f2 , f3 вычислим его :

         1     1     1          1     1     1    

тИЖ =   1     2     3    =    0     1     2    =   1*(-1)1+1 *   1     2   = 5 - 4 = 1    

         1     3     6          0     2     5                              2     5 

Так как тИЖ тЙа 0 , то векторы f1, f2 , f3 образуют базис трёхмерного  пространства R3

Для вычисления координат вектора x в этом базисе составим систему линейных уравнений :

  х1 + х2 + х3 = 4         *(-1)    

  х1 + 2х2 + 3х3 = 7

  х1 + 3х2 + 6х3 = 10

  

  х1 + х2 + х3 = 4         

         х2 + 2х3 = 3          *(-2)

       2х2 + 5х3 = 6    


  х1 + х2 + х3 = 4          1) х3 = 0             3) х1 + 3 + 0 = 4

         х2 + 2х3 = 3         2) х2 + 0 = 3           х1 = 4 - 3

                  х3 = 0             х2 = 0                  х1 = 1              

х1 = 1 , х2 = 0 , х3 = 0 .

Решение этой системы образует совокупность координат вектора x в базисе f1, f2 , f3

x(1;3;0);

x = f1 + 3f2 + 0f3;

x = f1 + 3f2 .

Ответ : координаты вектора x (1;3;0).


6. Докажите , что система

  2х1 + 2х+  х3                 = 8,

    х1 +   х+  х3                 = 3,

    х1 + 2х2 + 2х3   +  х = 3,

           3х2 + 2х3  +2х = 3

имеет единственное решение . (362).Неизвестное х2 найдите по формулам Крамера . (0М1.РЛ) . Решите систему методом Гаусса .

Решение:

Составим матрицу из коэффициентов при переменных

         2     2     1      0

А =   1     1     1      0

         1     2     2      1    

         0     3     2      2

Вычислим определитель матрицы А

         2     2     1      0         2     2     1      0                       2      2   1 1  1 0 

тИЖ  =   1     1     1      0  =    1     1     1      0   =  (-1)3+4 *   1      1      1   = -  1      1      1    =                                    

         1     2     2      1         1     2     2      1                      -2     -1     -2         0      1      0      

         0     3     2      2        -2    -1    -2     0                                        

= - (-1)2+3  *   1     1   = 1

                      0     1                                   

тИЖ тЙа 0, тогда система имеет решение х2 = тИЖ х2 /тИЖ

             2     8     1      0         2     8     1      0                       2     8      1         2     8      1

тИЖ х2 =   1     3     1      0   =    1     3     1      0    = (-1)3+4 *  1     3      1   = -  1     5      0   =

             1     3     2      1         1     3     2      1                      -2    -3    -2         0     3      0

             0     3     2      2        -2    -3    -2     0

= -(-1)1+3  *    1     5    = ( 3 + 0 ) = 3

                      0     8

х2 = 3 /1 = 3.

Решим систему методом Гаусса

  2х1 + 2х+  х3                 = 8     *(-2)    *(-1)

    х1 +   х+  х3                 = 3

    х1 + 2х2 + 2х3   +  х = 3

           3х2 + 2х3  +2х = 3

х1 +   х+  х3                 = 3

                -  х3                 = 2

          х+  х3    +  х4   = 0      *(-3)

        3х2 + 2х3  +2х = 3  

х1 +   х+  х3                 = 3

          х+  х3    +  х4   = 0

               -  х3   -   х4   = 3

                  х3                   = -2

1) х= - 2            3) х- 2  - 1  = 0

2) 2 - х4   = 3             х= 3

    х4   = -1             4) х1 + 3  - 2   = 3 

                                 х1 = 2

Проверка :

2 + 3 - 2 =3,   3 = 3   

4 + 3*3 - 2 = 8,    8 = 8

2 + 6 - 4 - 2 = 3,     3 =3

9 - 4 - 2 = 3 ,  3 = 3.

Ответ : х1 = 2 , х= 3 ,  х= - 2 , х4   = -1.


7. Дана система линейных уравнений

   3х1 + х2 - х3   -  х4  = 2,

   9х1 + х2 - 2х3 -  х= 7,

     х- х2             -  х4   = -1,

     х1 + х2 -  х-3х4   = -2.

Докажите ,что система совместна . Найдите её общее решение . (392.БЛ). Найдите частное решение , если х= 1 .

Доказательство :

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда , когда ранг основной матрицы

системы равен рангу расширенной матрицы .

Составим  расширенную матрицу :

         3      1      -1      -1      2            0      -2       2       8        8             0       0       1       6        7              

А =   9      1      -2      -1      7     тЖТ   0      -8       7       26      25    тЖТ   0       0       3       18      21    =0

         1      -1     0       -1      -1           0      -2       1       2        1             0      -2       1       2        1

         1      1      -1      -3      -2           1      1         -1     -3       -2           1      1         -1     -3       -2

Первая и вторая строка пропорциональны  следовательно А = 0. Поэтому ранг матрицы и расширенной матрицы равны 3 поэтому система является совместной .

Решим систему методом Гаусса :

запишем последнее уравнение на первое место :

  х1 + х2 -  х-3х4   = -2

1 + х2 - х3   -  х4  = 2

1 + х2 - 2х3 -  х4   = 7

  х- х2             -  х4   = -1

         1      1      -1      -3      -2             1      1      -1      -3     -2             1      1      -1      -3     -2                            

С =   3      1      -1      -1      2       тЖТ   0      2      -2      -8     -8      тЖТ   0      2      -2      -8     -8   тЖТ

         9      1      -2      -1      7              0      8      -7      -26   -25           0      0      -1      -6     -7

         1      -1     0       -1      -1             0      2      -1      -2     -1             0      0      -1      -6     -7

        х1 + х2 -  х-3х4   = -2

тЖТ         2х2- 2х3 -8х4  = -8

                    - х3 -6х4   = -7.

1) х= 7 - 6х4

2) х2 - х3 -4х4   = -4

    х2 = х + 4х- 4

    х2 = 7 - 6х4 + 4х- 4

    х2 = 3 - 2х4

3) х1 = - х2 +  х+ 3х - 2

    х1 = - 3 + 2х + 7 - 6х4 + 3х4 - 2

    х1 = 2 4 .

Получаем общее решение системы :

х1 = 2 4

х2 = 3 - 2х4

х= 7 - 6х4.

Найдём частное решение , если х= 1 тогда

х1 = 2 - 1 = 1;

х2 = 3 - 2*1 = 1;

х= 7 - 6*1 =1.

Ответ : (1;1;1;1) - частное решение .


8. Дана система линейных  однородных уравнений

   2х1 +3х-   х-  х+ х= 0,

   3х1 - 2х2 - 3х3          -3х5 = 0,

     х1 - 3х2 + 2х-5х4 -2х= 0.

Докажите , что система имеет нетривиальное решение . Найдите общее решение системы . Найдите какую-нибудь фундаментальную систему решений Доказательство :

Система имеет нетривиальное решение тогда и только тогда , когда ранг её матрицы меньше числа неизвестных .В этом случае ранг матрицы не больше трёх , а переменных в системе пять .

Решим систему методом Гаусса .

Запишем матрицу системы :

         2      3      -1      -1       1             1      -3     2       -5        -2

А =   3      -2     3       0         -3    тЖТ   0       9     -5       9         5     тФВ*7     тЖТ

         1      -3     2       -5        -2           0       7     -3       15       3    тФВ*(-9)

       1      -3     2       -5        -2

тЖТ   0       9     -5       9         5

       0       0     -8      -72       8

   х1 -3х+ 2х- 5х-2х= 0

        9х2  - 5х3 + 9х4 +5х5 = 0

                -8х-72х4 +8х5 = 0

1) 8х= -72х4 + 8х5

      х= -  9х4 +   х5

2) 9х2 +  45х-  5х5 + 9х4 +5х5 = 0

    9х2 +  36х4 = 0

      х2= - 4х4

3) х1 +12х4 - 18х4 + 2 х5 - 5х-2х= 0

    х1 - 11х4 = 0

    х1 =11х4

Общее решение системы :

х1 =11х4

х2= - 4х4

х= -  9х4 +   х5

Найдём фундаментальную систему решений , положив х4 = 1 , х5 = 0.

х1 =11*1 = 11,

х2= - 4*1 = -4,

х= -  9*1 +   0 = -9.

Пусть х4 = 0, х5 = 1.

х1 =11*0 = 0,

х2= - 4*0 = 0,

х= -  9*0 +   1 = 1.

Ответ :   (11;-4;-9;1;0)

               (0; 0; 1; 0; 1).


9 (3СА). Найдите площадь параллелограмма , построенного на векторах  а = 2р + 3r,               b = p -2r , | p | = тИЪ2 , | r | = 3, (p,^r) = 45В° .

Решение :

S =| [а , b] | = | [2р + 3r , p -2r] | = | 2[p , p] - 4[p, r ] + 3[r , p] -6[r , r] |

[p , p] = 0 , [r , r] = 0 , [r , p] = - [p, r ] .

S = | 7[r , p] | = 7| r | * | p | * sinПЖ

S = 7 * 3 * тИЪ2 * sin 45В°  = 21 * тИЪ2 * тИЪ2 / 2 =21 .

Ответ :S =21 .


10 (78Т). Вычислите ПрBD[BC ,CD] , если B(6,3,3) ; C(6,4,2) ; D(4,1,4) .

Решение :

Найдём координаты векторов

BD = ( 4 - 6 , 1 - 3 , 4 - 3 ) = ( - 2 ; - 2 ; 1 ),

BC = ( 6 - 6 , 4 - 3 , 2 - 3 ) = ( 0 ; 1 ; - 1 ),

CD = ( 4 - 6 , 1 - 4 , 4 - 2 ) = ( - 2 ; - 3 ; 2 ).

Найдём векторное произведение :

                       i     j     k

[BC ,CD] =   0     1    -1  =  i (2 - 3) - j (0 -2) + k (0 + 2) = - i + 2j + 2k .

                      -2   -3    2  

Пусть [BC ,CD] = а , тогда а = ( -1 ; 2 ; 2 )

ПрBD  а = ( BD , a ) /| BD | 

( BD , a ) = -2*( -1 ) - 2*2 + 1*2 = 2 -4 + 2 = 0 .

ПрBD а = 0 .

Ответ : ПрBD а = 0 .


11. Линейный оператор А действует в R3 тЖТ R3 по закону Ax = (- х1 + 2х2 + x3 , 5х2 , 3х1 +  2х2 + х3 ), где х( х1, х2, х3 ) - произвольный вектор .(125.РП). Найдите матрицу А этого оператора в каноническом базисе . Докажите , что вектор х(1,0 ,3) является собственным для матрицы А .(Т56). Найдите собственное число О», соответствующее вектору х . (Д25.РП). Найдите другие собственные числа , отличные от О»0 . Найдите все собственные векторы матрицы А и сделайте проверку .

Решение :

Ax = (- х1 + 2х2 + x3 ; 5х2 ; 3х1 +  2х2 + х3 )

Найдём  матрицу в базисе l1 , l2 , l3

A l1 = (-1 ; 2 ;1)

A l2 = (0 ; 5 ; 0)

A l3 = (3 ; 2 ; 1)

         -1   2     1

A =   0    5     0

         3    2     1     .

Докажем , что вектор х = (1 ,0 ,3) является собственным для матрицы А.

Имеем

         -1   2     1         1          -1 + 0 + 3        2              1

Aх = 0    5     0    *   0    =     0  + 0 + 0   =  0   =  2 *  0

         3    2     1         3           3  + 0 + 3        6              3    .

Отсюда следует , что вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу О» = 2 .

Составляем характеристическое уравнение  :

   -1 - О»    2         1

   0            5 - О»    0         = 0    

   3            2          1 - О»

(5 - О»)*((-1 - О»)*(1 - О») - 3) = 0

5 - О» = 0     или     О»2 -1 - 3 = 0

                             О»2 = 4

                             О» = В±2

О»1 = 2 , О»2 = -2 , О»3 = 5 .

Запишем систему для определения собственного вектора, отвечающего собственному числу О» = -2.

  х1 + 2х+  х3    = 0       х= 0   

         7х2                 = 0

1 + 2х2 + 3х = 0

  х1 +   х= 0                 х1 = -х3

1 + 3х = 0

Пусть х= 1 ,тогда х1 = -1 , имеем собственный вектор х1 = (-1 ;0 ;1) .

Проверка :

         -1   2     1        -1       1  + 0 + 1           2                 -1

A =   0    5     0    *   0    =  0  + 0 + 0    =    0    =  -2 *   0

         3    2     1         1        -3 + 0 + 1          -2                1

Следовательно , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу О» = -2.

Найдём собственный вектор для  О» = 5

-6х1 + 2х+  х3    = 0

1 + 2х- 4х3   = 0

-9х1 + 5х = 0

   х1 = 5/9 х3

-6*(5/9 х3) + 2х+  х3   = 0

-10/3 х+  х+ 2х= 0

= 7/3 х3

  х= 7/6 х3 .

Пусть х= 18 , тогда х1 = 10 , х= 21 .

Вектор х2 = (10 ;21 ;18) собственный вектор .

Проверка

         -1   2     1        10         -10  + 42   + 18          50                  10

A =   0    5     0    *   21   =   0      + 105 + 0      =    105    =  5 *   21

         3    2     1         18        30    + 42   + 18          90                  18   .

Следовательно , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу О» = 5 .

Ответ : матрица в каноническом  базисе : -1 , 2 , 1 : 0 , 5 , 0 : 3 , 2 , 1; вектор х = (1 ,0 ,3) собственный и отвечает собственному числу О» = 2 , х1 = (-1 ;0 ;1) собственный вектор и отвечает собственному числу О» = -2 , х2 = (10 ;21 ;18) собственный и отвечает собственному числу О» = 5 .


12(Д01.РП).Составьте общее уравнение прямой , проходящей  через точку М(1,4) параллельно прямой 2х + 3y + 5 = 0.

Решение :

Найдём угловой коэффициент прямой 2х + 3y + 5 = 0.

3y = -2x -5

y = -2/3 x - 5/3

Оє = -2/3

Так как исходная прямая параллельна данной , то её угловой коэффициент равен Оє = -2/3 .

Уравнение прямой имеющей угловой коэффициент Оє и проходящей через точку М(х0,y0) записывается в виде

y - y0 = Оє(x - x0).

Имеем

y - 4 = -2/3 (x - 1)

3y - 12 =  -2x + 2

2х + 3y - 14 = 0.

Ответ : 2х + 3y - 14 = 0 - уравнение искомой прямой .


13(3А2.РП).Найдите координаты проекции точки М(3,6) на прямую  х + 2y - 10 = 0.

Решение :

Пусть N - проекция  точки М  на данную прямую .

Составим уравнение прямой MN угловой коэффициент заданной прямой  х + 2y - 10 = 0 равен Оє1 = -1/2 , тогда угловой коэффициент прямой MN  равен Оє2 = 2 .

Тогда уравнение MN  имеет вид  y - y0 = 2(x - x0) .

Для определения координат точки  N решим систему уравнений  

  х + 2y - 10 = 0

  y - y0 = 2(x - x0)   ,   x0 = 3 ,  y0 = 6 .

  х + 2y - 10 = 0          2х + 4y - 20 = 0

  y - 6 = 2(x - 3)          -2х + y  = 0

4y = 20        

  y = 4

2х = y 

х  = ВЅ y

х  = ВЅ * 4 = 2

х  = 2 .










Ответ : координаты проекции точки М(3,6) на прямую  х + 2y - 10 = 0 N(2,4).


14(103.БЛ). Запишите общее уравнение плоскости , походящей через три заданные точки     M1(-6,1,-5) , M2(7,-2,-1) , M3(10,-7,1) .

Решение :

Уравнение плоскости , проходящей через 3 точки имеет вид

  x-x1      y-y1      z-z1

  x2-x1    y2-y1    z2-z1    = 0

  x3-x1    y3-y1    z3-z1

     x-6        y-1        z+5

     7+6       -2-1      -1+5     = 0

     10+6     -7-1      1-5  

  x-6        y-1        z+5

  13         -3          4            = 0      

  16         -8          -4  

(x -6)*   -3       4     -  (y - 1)*  13     4    + (z + 5)*   13     -3     = (x -6)*(12+32) - (y - 1)*(-52-64)+

              -8      -4                      16     -4                      16     -8

+ (z + 5)*(-104+48) = 0

(x -6)*44 - (y - 1)*(-116) + (z + 5)*(-56) = 0

11*(x -6) + 29*(y - 1) - 14*(z + 5) = 0

11x - 66 + 29y - 29 - 14z - 70 = 0

11x + 29y - 14z - 165 = 0 .

Ответ : общее уравнение плоскости 11x + 29y - 14z - 165 = 0 .


15.Дана кривая 4x2 - y2 - 24x + 4y + 28 = 0 .

8.1.Докажите , что эта кривая - гипербола .

8.2 (325.Б7).Найдите координаты её центра симметрии .

8.3 (Д06.РП).Найдите действительную и мнимую полуоси .

8.4 (267.БЛ). Запишите уравнение фокальной оси .

8.5. Постройте данную гиперболу .

Решение :

Выделим полные квадраты

4(x2 - 6x + 9) - 36 - (y2 - 4y + 4) + 4 + 28  = 0  

4(x - 3)2 - (y - 2)2 - 4 = 0

4(x - 3)2 - (y - 2)2 = 4

((x - 3)2/1) - ((y - 2)2/4) = 1

Положим x1 = x - 3 , y1 = y - 2 , тогда x12/1 - y12/4 =1 .

Данная кривая является гиперболой .

Определим её центр

x1 = x - 3 = 0 ,  x = 3

y1 = y - 2 = 0 ,  y = 2

(3 ; 2)  - центр .

Действительная полуось a =1 .

Мнимая полуось b =2 .

Уравнение асимптот  гиперболы

y1 = В± b/a x1 

(y - 2) = (В± 2/1)*(x - 3)

y -2 = 2x - 6      и      y - 2 = -2(x - 8)

2x - y - 4 = 0             2x + 2y - 8 = 0

x + y - 4 = 0 .

Определим  фокусы гиперболы

F1(-c ; 0)  ,   F2(c ; 0)

c2 = a2 + b2  ;  c2 = 1 + 4 = 5

c = В±тИЪ5

F1(-тИЪ5; 0)  ,   F2(тИЪ5 ; 0).

F1тАІ(3 - тИЪ5; 2) , F2тАІ (3 + тИЪ5; 2).

Уравнение F1тАІ F2тАІ (x - 3 + тИЪ5) / (3 + тИЪ5 - 3 + тИЪ5) = (y - 2) /(2 - 2) ; y = 2













Ответ: (3 ; 2)  , действительная полуось a =1 , мнимая полуось b =2, (x - 3 + тИЪ5) / (3 + тИЪ5 - 3 + тИЪ5) = (y - 2) /(2 - 2) ; y = 2 .

16.Дана кривая  y2 + 6x + 6y + 15 = 0.

16.1.Докажите , что эта кривая - гипербола .

16.2(058.РП). Найдите координаты её вершины .

16.3(2П9). Найдите значения её параметра p .

16.4(289.РП). Запишите уравнение её оси симметрии .

16.5.Постройте данную параболу .

Решение :

Выделим полный квадрат при переменной y

(y2 + 6y + 9) + 6x + 6 = 0

(y + 3)2 = - 6(x + 1) .

Положим y1 = y + 3 , x1 = x + 1 .

Получим

y12 = В±6x1 .

Это уравнение параболы вида  y2 = 2px , где p = -3 .

Данная кривая является гиперболой .

Так как  p<0 , то ветви  параболы в отрицательную сторону. Координаты вершины параболы y + 3 = 0        x + 1 = 0

y = -3                x = -1

(-1 ; -3) - вершина параболы .

Уравнение оси симметрии y = -3.





                          





Ответ : (-1 ; -3) - вершина параболы , p = -3 , уравнение оси симметрии y = -3 .

Страницы: Назад 1 Вперед