Полином Жегалкина

курсовая работа: Математика

Документы: [1]   Word-213064.doc Страницы: Назад 1 Вперед

Уфимский государственный авиационный технический университет

Кафедра АПРиС











Курсовая работа

по дискретной математике

ВлПолином Жегалкина»



Выполнили:

Проверила:

Шерыхалина Н.М.










Уфа - 2008

Оглавление


Цель работы

Введение

Теоретическая часть

Алгоритм

Блок-схемы

Листинг программы

Тестирование программы

Заключение

Список использованной литературы:



Цель работы


Целью данной работы является изучение булевых функций, разработка алгоритма их представления в виде полинома Жегалкина и написания программы, реализующей этот алгоритм.

Введение


В курсе дискретной математики изучаются функции, область определения которых - дискретное множество. Простейшим (но нетривиальным) таким множеством является множество, состоящее из двух элементов.

Теоретическая часть


Полнота и замкнутость


Определение 1: Система функций из P2 (множества всех булевых функций) называется функционально полной, если любая булева функция может быть записана в виде формулы через функции этой системы.

Пример:

1) Само множество ;


2);

3) - не полна.


Теорема 1. Пусть даны две системы функций из


, (I)

. (II)


Известно, что система I полная и каждая функция системы I выражается через функции системы II. Тогда система II является полной.

Доказательство: Пусть . В силу полноты системы I , функцию h можно выразить в виде формулы .

По условию теоремы


Поэтому


ч. т. д.


Примеры:


1) - полная.

2) - тоже полная, так как .

3) - тоже полная.

4) - тоже полная, так как

,

,

. ((2) - I)

5) - неполная.


Докажем это от противного.


Предположим, что .

Но .


Противоречие.


6) - неполная (сохраняет константу 0).

6тАЩ) - полная.

7) - неполная (сохраняет константу 1).

8)


тогда взяв в качестве системы I систему 2) можно заключить, система функций 8) - полная. Тем самым, справедлива

Теорема Жегалкина. Каждая функция из может быть выражена при помощи полинома по модулю 2 - (полинома Жегалкина):


,

где . (1)


Имеем: число разных сочетаний равно числу подмножеств множества из n элементов. Каждое aik может принимать одно из 2-х значений {0,1}. Тогда число разных полиномов Жегалкина равно , т.е. равно числу различных булевых функций.

Т. о. получаем единственность представления функций через полином Жегалкина.

Способы представления функции в виде полинома Жегалкина

1) Алгебраические преобразования


.


Пример:



2) Метод неопределенных коэффициентов

- искомый полином Жегалкина (реализующий функцию ).

Вектор из формулы (1) будем называть вектором коэффициентов полинома .

Нам нужно найти неизвестные коэффициенты .

Поступаем так. Для каждого составим уравнение , где - выражение, получаемое из (1) при . Это дает систему из уравнений с неизвестными, она имеет единственное решение. Решив систему, находим коэффициенты полинома .


3) Метод, базирующийся на преобразовании вектора значения функции

Пусть - вектор значений функции.

Разбиваем вектор на двумерные наборы:


.


Операция T определена следующим образом:


.


Применяем операцию Т к двумерным наборам:


Используя построенные наборы, конструируем четырехмерные наборы, которые получаются в результате применения операции Т к четырехмерным наборам, выделяемым из .



Затем от четырехмерных наборов переходим (аналогично) к восьмимерным и т.д., пока не построим - мерный набор. Он и будет искомым вектором коэффициентов полинома .

Пример:

Пусть вектор значений функций = (0,0,0,1,0,1,1,1)



Полученный вектор является искомым векторов коэффициентов полинома .

Определение 2: Пусть M - некоторое подмножество функций из P2. Замыканием M называется множество всех булевых функций, представимых в виде формул через функции множества M. Обозначается [M].

Замечание. Замыкание инвариантно относительно операций введения и удаления фиктивных переменных.

Примеры.


1) M=P2, [M]=P2.

2) M={1,x1x2}, [M] - множество L всех линейных функций вида

, (ci{0,1}).


Свойства замыкания:

  1. Если М замкнуто, то [M]=M;


  1. [[M]]=[M];
  2. M1M2 [M1][M2];
  3. [M1M2][M1][M1].


Определение 3. Класс (множество) M называется (функционально) замкнутым, если [M]=M.

Примеры.

  1. Класс M=P2 функционально замкнут;
  2. Класс {1,x1x2} не замкнут;
  3. Класс L замкнут (линейное выражение, составленное из линейных выражений линейно).

Новое определение полноты. M - полная система, если [M]=P2.

Алгоритм

булевой функция полином жигалкин

В данной программе был реализован метод неопределенных коэффициентов для построения полинома Жегалкина.

1. Получить таблицу истинности для определенного количества переменных;

2. Заполнить значения функции для каждого из наборов таблицы истинности;

3. Последовательно вычислить неизвестные коэффициенты;

4. Записать функцию в виде полинома Жегалкина с вычисленными коэффициентами.


x1

x2

x3

f

0

0

0

f1

0

0

1

f2

0

1

0

f3

0

1

1

f4

1

0

0

f5

1

0

1

f6

1

1

0

f7

1

1

1

f8


.


Листинг программы:


#include<iostream.h>

#include<conio.h>


int FuncVolume (int &f)

{

do {cout <<"Vvedite znachenit funkcii na dannom nabore :"<<endl;

cin>>f;

if ((f!=0)&&(f!=1))

       cout<<"Error!!!Funkciya mojet prinimat' znachenie libo 0 libo 1!\n";

}

while ((f!=0)&&(f!=1));

return f;

}





void main()

{

clrscr();

const N=8;

int m[5];

int f[N],a[N];

for (int i =0; i<N; i++)

{

FuncVolume (f[i]);

}

a[0]= f[0];

a[3]=f[0]^f[1];

a[2]=f[0]^f[2];

a[1]=f[0]^f[4];

m[0]=f[1]^a[2]^a[3];

a[5]=m[0]^f[3];

m[1]=f[1]^a[1]^a[3];

a[6]=m[1]^f[5];

m[2]=f[1]^a[1]^a[2];

a[4]=m[2]^f[6];

m[3]=a[3]^a[4]^a[5];

m[4]=m[2]^m[3]^a[6];

a[7]=m[4]^f[7];




cout<<"\n\nTablica istinnosti dlya dannoy funkcii : \n\n";

cout<<"x_1        x_2        x_3         f\n\n";

cout<<" 0         0         0         "<<f[0]

<<"\n 0         0         1         "<<f[1]

<<"\n 0         1         0         "<<f[2]

<<"\n 0         1         1         "<<f[3]

<<"\n 1         0         0         "<<f[4]

<<"\n 1         0         1         "<<f[5]

<<"\n 1         1         0         "<<f[6]

<<"\n 1         1         1         "<<f[7]<<"\n\n";

cout<<"\n\nZnachenie koefficientov v polimome Jigalkina : \n\n" ;


for (i=0; i<N;i++)

{

cout<<"a_"<<i<<" "<<a[i]<<"\n";}

cout<<"Polinom Jigalkina dlya dannoy funkcii imeet vid : \n f = "<<a[0]

<<"^("<<a[1]<<"*x_1)^("<<a[2]<<"*x_2)^("<<a[3]<<"*x_3)^("<<a[4]<<"*x_1*x_2)^\n^("<<a[5]<<"*x_2*x_3)^("<<a[6]<<"*x_1*x_3)^("

<<a[7]<<"*x_1*x_2*x_3)";


getch();

}

Тестирование программы:



На каждом наборе вводятся единицы, то есть функция является тождественной единицей. Простейшая проверка на правильность работы программы:


Так же реализована проверка на правильный ввод данных:


Заключение


В курсовой работе был реализован метод неопределенных коэффициентов для представления функции в виде полинома Жегалкина. По данному алгоритму на языке С++ была написана программа, результат которой был продемонстрирован.

Список использованной литературы


1. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. тАФ М.: Наука. тАФ 1986

2. Н.А.Ахметова, З.М.Усманова Дискретная Математика. Функции алгебры логики учебное электронное издание - Уфа - 2004

3. Гаврилов Г. П., Сапоженко А. А. Задачи и упражнения по дискретной математике: Учебное пособие. - 3-е изд., перераб. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005.

Размещено на Allbest.ru

Страницы: Назад 1 Вперед