*-Алгебры и их применение

дипломная работа: Математика

Документы: [1]   Word-102902.doc Страницы: Назад 1 Вперед

МИНИСТЕРСТВО  ОБРАЗОВАНИЯ  И  НАУКИ  УКРАИНЫ

ТАВРИЧЕСКИЙ  НАЦИОНАЛЬНЫЙ  УНИВЕРСИТЕТ

им. В.И. ВЕРНАДСКОГО


ФАКУЛЬТЕТ  МАТЕМАТИКИ И ИНФОРМАТИКИ

КАФЕДРА  АЛГЕБРЫ  И  ФУНКЦИОНАЛЬНОГО  АНАЛИЗА



*-АЛГЕБРЫ И ИХ ПРИМЕНЕНИЕ

Дипломная работа специалиста



студент 5 курса специальности математика

_________________________________


НАУЧНЫЕ РУКОВОДИТЕЛИ:

ассистент каф. алгебры и функционального анализа

_________________________________


профессор, доктор физико-математических наук

_________________________________


РЕШЕНИЕ О ДОПУСКЕ К ЗАЩИТЕ:

зав. кафедрой, профессор, д.ф.м.н.

_________________________________




СИМФЕРОПОЛЬ

2003



СОДЕРЖАНИЕ


ВведениетАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..4

Глава I. Основные понятия и определениятАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.6

Вз 1. * - алгебрытАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж...6

1.1. Определение * - алгебрытАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.6

1.2. ПримерытАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж7

1.3. Алгебры с единицейтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.7

1.4. Простейшие свойства * - алгебртАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.9

1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебртАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж11

Вз 2. Представления тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.13

2.1. Определение и простейшие свойства представленийтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.13

2.2. Прямая сумма представлений тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..15

2.3. Неприводимые представлениятАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..16

2.4. Конечномерные представлениятАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.19

2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..20

Вз 3. Тензорные произведениятАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж26

3.1. Тензорные произведения пространствтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.26

3.2. Тензорные произведения операторовтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..28

Глава II. Задача о двух ортопроекторахтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..31

Вз 1. Два ортопроектора в унитарном пространстветАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..31

1.1. Постановка задачитАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..31

1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.31

1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2   тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.32

1.4. n-мерные *-представления *-алгебры P2   тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж35

1.5. Спектральная теорематАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж37

Вз 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстветАжтАж39

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2   тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж...39

2.2. Спектральная теорематАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж41

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж...45

Вз 1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстветАжтАж...45

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстветАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.45

1.2. Постановка задачитАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..45

1.3. Спектр в одномерном пространстветАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.45

1.4. Спектр в двумерном пространстветАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.тАж..46

1.5. Спектр в n-мерном пространстветАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..47

1.6. Линейная комбинация ортопроекторовтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж49

Вз 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном

гильбертовом пространстве тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж.52

2.1. Спектр оператора А = Р12 тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж52

2.2. Спектр линейной комбинации А = аР1 + bР2 (0<а<b) тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..53

ЗаключениетАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..55

Литература тАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАжтАж..56


ВВЕДЕНИЕ


Пусть Н - гильбертово пространство, L(Н) - множество непрерывных линейных операторов в Н. Рассмотрим подмножество А в L(Н), сохраняющееся при сложении, умножении, умножении на скаляры и сопряжении. Тогда А - операторная *-алгебра. Если дана абстрактная *-алгебра А, то одна из основных задач теории линейных представлений (*-гомоморфизмов А в L(Н)) - перечислить все ее неприводимые представления (с точностью до эквивалентности).

Теория унитарных представлений групп восходит к XIX веку и связана с именами Г.Фробениуса, И.Шура, В.Бернсайда, Ф.Э. Молина и др. В связи с предложениями к квантовой физике теория унитарных представлений топологических групп, групп Ли, С*-алгебр была разработана И.М.Гельфандом, М.А. Наймарком, И.Сигалом, Ж.Диксмье, А.А. Кирилловым и др. в 60-70-х годах XX века. В дальнейшем интенсивно развивается теория представлений *-алгебр, заданных образующими и соотношениями.

Дипломная работа посвящена развитию теории представлений (конечномерных и бесконечномерных) *-алгебр, порожденных двумя проекторами.

Глава I в краткой форме содержит необходимые для дальнейшего сведения из теории представлений и функционального анализа. В Вз1 дано определение *-алгебры и приведены простейшие свойства этих алгебр. В Вз2 излагаются основные свойства представлений, вводятся следующие понятия: неприводимость, эквивалентность, прямая сумма, интегрирование и дезинтегрирование представлений. В Вз3 определяются тензорные произведения пространств, тензорные произведения операторов и др. (см. [2], [3], [4], [8], [9])

В Главе II изучаются представления *-алгебры P2

P2 = С < p1, p2 | p12 = p1* = p1,   p22 = p2* = p2 >,

порожденной двумя самосопряженными идемпотентами, то есть проекторами (см., например, [12]). Найдены все неприводимые *-представления *-алгебры P2, с точностью до эквивалентности., доказаны соответствующие спектральные теоремы.

В Вз1 рассматриваются только конечномерные *-представления ПА в унитарном пространстве Н. Описаны все неприводимые и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 . Неприводимые *-представления P2 одномерны и двумерны:

4 одномерных:   ПА0,0(p1) = 0, ПА0,0(p2) = 0; ПА0,1(p1) = 0, ПА0,1(p2) = 1;

ПА1,0(p1) = 1, ПА1,0(p2) = 0; ПА1,1(p1) = 1, ПА1,1(p2) = 1.

И двумерные:     ,       ПД (0, 1).

Доказана спектральная теорема о разложении пространства Н в ортогональную сумму инвариантных относительно ПА подпространств Н, а также получено разложение ПА на неприводимые *-представления. Результаты Вз1 относятся к математическому фольклору.

В Вз2 получены основные результаты работы. Для пары проекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н приведено описание всех неприводимых представлений, доказана спектральная теорема. 

В Главе III спектральная теорема для пары проекторов Р1, Р2, применяется к изучению сумм Р12, аР1+bР2 (0 < a < b). Получены необходимое и достаточное условие на самосопряженный оператор А для того чтобы А = Р12 или А = аР1+bР2, 0 < a < b, (этот частный случай задачи Г.Вейля (1912 г.) о спектре суммы пары самосопряженных операторов).


Глава I. Основные понятия и определения

Вз 1. - алгебры

    1. Определение - алгебры.

Определение 1.1.  Совокупность А элементов x, y, тАж называется алгеб-
рой, если:

  1. А есть линейное пространство;
  2. в А введена операция умножения (вообще некоммутативного), удовлет-
    воряющая следующим условиям:

О± (x y) = (О± x) y,

x (О± y) = О± (x y),

(x y) z = x (y z),

(x + y) = xz +xy,

x (y + z) = xy + xz  для любых x, y, z А и любых чисел О±.

Два элемента x, y алгебры А называются перестановочными, если xy = yx. Алгебра А называется коммутативной, если все ее элементы попарно пере-
становочны.

Определение 1.2. Пусть А - алгебра над полем С комплексных чисел. Инволюцией в А называется такое отображение x тЖТ x* алгебры А в А, что

  1. (x*)* = x;
  2. (x + y)* = x* + y*;
  3. (О± x)* = x*;
  4. (x y)* = y*x*   для любых x, y С.

Алгебра над С, снабженная инволюцией, называется инволютивной алгеброй или *- алгеброй. Элемент х* называют сопряженным к х. Подмножество А, сохраняющееся при инволюции, называется само-
сопряженным.

Из свойства (i) следует, что инволюция в А необходимо является биекцией А на А.


1.2. Примеры

  1. На А = С отображение z тЖТ (комплексное число, сопряженное к z) есть инволюция, превращающая С в коммутативную *- алгебру.
  2. Пусть Т - локально компактное пространство, А = С(Т) - алгебра непре-
    рывных комплексных функций на Т, стремящихся к нулю на бесконечности (то есть для любого Оµ > 0 множество {tT: |f (t)| Оµ} компактно, f (t) А. Снабжая А отображением fтЖТ получаем коммутативную *- алгебру. Если Т сводится к одной точке, то возвращаемся к примеру 1).
  3. Пусть Н - гильбертово пространство. А = L(H) - алгебра ограниченных линейных операторов в Н. Зададим инволюцию как переход к сопряженному оператору. Тогда А - *- алгебра.
  4. Обозначим через К(Н) совокупность всех компактных операторов в гильбертовом пространстве Н; операции сложения, умножения на число и умножения определим как соответствующие действия с операторами. Тогда К(Н) будет *- алгеброй, если ввести инволюцию АтЖТА* К(Н)). Алгебра К(Н) в случае бесконечного Н есть алгебра без единицы. Действительно, если единичный оператор I принадлежит К(Н), то он переводит открытый единичный шар S H в себя. Значит I не может быть компактным оператором.
  5. Обозначим через W совокупность всех абсолютно сходящихся рядов .

Алгебра W есть *- алгебра, если положить .   ()


1.3. Алгебры с единицей

Определение 1.3. Алгебра А называется алгеброй с единицей, если А содержит элемент е, удовлетворяющий условию

ех = хе = х   для всех хА                                                                      (1.1.)

Элемент е называют единицей алгебры А.

Теорема 1.1. Алгебра А не может иметь больше одной единицы.

Доказательство. Действительно, если еОД - также единица в А, то

еОДх = хеОД = х, для всех хА                                                                       (1.2.)

Полагая в (1.1.) х = еОД, а в (1.2.) х = е, получим:

ееОД = еОДе = еОД  и  еОДе = ееОД =е,  следовательно еОД = е.

Теорема 1.2. Всякую алгебру А без единицы можно рассматривать как подалгебру некоторой алгебры АОД с единицей.

Доказательство. Искомая алгебра должна содержать все суммы хОД=О±е + х, хА; с другой стороны, совокупность всех таких сумм образует алгебру АОД, в которой основные операции определяются формулами:

ОІ(О±е + х) = ОІО±е + ОІх, (О±1е + х1) + (О±2е + х2) = (О±1 + О±2)е + (х1 + х2),

(О±1 е + х1)(О±2 е+ х2 )=О±1 О±2 е +О±1 х2 +О±2 х1 + х1 х2                                                (1.3.)

Каждый элемент хОД из АОД  представляется единственным образом в виде

хОД = О±е + х, хА, так как по условию А не содержит единицы. Поэтому АОД можно реализовать как совокупность всех формальных сумм хОД = О±е + х, хА, в которой основные операции определяются формулами (1.3.); сама алгебра А получится при О± = 0.

Алгебру АОД можно также реализовать как совокупность всех пар (О±, х), хА, в которой основные операции определяются по формулам:

ОІ (О±, х) = (ОІО±, ОІх),     (О±1, х1) + (О±2, х2) = (О±1 + О±2, х1 + х2),

(О±1, х1)(О±2, х2) = (О±1О±2, О±1х2 + О±2 х1 + х1х2),                                                            (1.4.)

аналогично тому, как определяются комплексные числа. Саму алгебру А можно тогда рассматривать как совокупность всех пар (0, х), хА и не делать различия между х и (0, х). Полагая е = (0, х), мы получим:

(О±, х) = О±(1, 0) + (0, х) = О±е + х,

так что вторая реализация алгебры АОД равносильна первой.

Переход от А к АОД называется присоединением единицы.

Определение 1.4. Элемент y называется левым обратным элемента х, если xy = e. Элемент z называется правым обратным элемента х, если xz = e.

Если элемент х имеет и левый, и правый обратные, то все левые и правые обратные элемента х совпадают. Действительно, умножая обе части равенства yx = e справа на z, получим

z = (yx)z = y(xz) = ye,

В этом случае говорят, что существует обратный х-1 элемента х.


1.4. Простейшие свойства - алгебр

Определение 1.5. Элемент х *-алгебры А называется эрмитовым или самосопряженным, если х* = х, нормальным, если хх* = х*х. Идемпотентный эрмитов элемент называется проектором. Элемент алгебры называется идемпотентным, если все его (натуральные) степени совпадают.

Каждый эрмитов элемент нормален. Множество эрмитовых элементов есть вещественное векторное подпространство А. Если х и y эрмитовы, то (xy)*= y*x* = yx; следовательно, xy эрмитов, если x и y перестановочны. Для каждого хА элементы хх* и х*х эрмитовы. Но, вообще говоря, эрмитов элемент не всегда представим в этом виде, как показывает пример 1 из пункта 1.2. Действительно, для любого z, но если z действительно отрицательное число, то его нельзя представить в виде .

Теорема 1.3. Всякий элемент х *-алгебры А можно представить, и притом единственным образом, в виде х = х1 +iх2, где х1, х2 - эрмитовы элементы.

Доказательство. Если такое представление имеет место, то х* = х1 +iх2, следовательно:

,                                                                                  (1.5.)

Таким образом, это представление единственно. Обратно, элементы х1, х2, определенные равенством (1.5.), эрмитовы и х = х1 +iх2.

Эти элементы х1, х2 называются эрмитовыми компонентами элемента х.

Заметим, что               хх* = х12 + х22 + i2х1 - х1х2),

хх* = х12 + х22 - i2х1 - х1х2)

так что х нормален тогда и только тогда, когда х1 и х2  перестановочны.

Так как е*е = е* есть эрмитов элемент, то  е* = е , то есть единица эрмитов элемент.

Если А - *-алгебра без единицы, а АОД - алгебра, полученная из А присоединением единицы, то, положив при хА, мы определим инволюцию в АОД, удовлетворяющую всем требованиям определения 2. Так что АОД  станет *-алгеброй. Говорят, что АОД есть *-алгебра, полученная из А присоединением единицы.

Теорема 1.4. Если х-1  существует, то (х*)-1 также существует и

(х*)-1 = (х-1)*

Доказательство. Применяя операцию * к обеим частям соотношения

х-1х = хх-1  = е,

получим х*(х-1)*= (х*)-1х*=е.

Но это означает, что (х-1)* есть обратный к х*.

Подалгебра А1 алгебры А называется *-подалгеброй, если из хА1 следует, что х*А1 .

Непустое пересечение *-подалгебр есть также *-подалгебра. В частности, пересечение всех *-поалгебр, содержащих данное множество S А, есть минимальная *-подалгебра, содержащая S.

Коммутативная *-алгебра называется максимальной, если она не содержится ни в какой другой коммутативной *-подалгебре.

Теорема 1.5. Если В - максимальная коммутативная *-подалгебра, содержащая нормальный элемент х , и если х-1 существует, то х-1В.

Доказательство. Так как х т х* перестановочны со всеми элементами из В, то этим же свойством обладают х-1 и (х*)-1 = (х-1)*. В силу максимальности В отсюда следует, что х-1В.

Определение 1.6. Элемент хА - *-алгебры называется унитарным, если хх* = х*х = е, иначе говоря, если х обратим и х = (х*)-1.

В примере 1 п.1.2. унитарные элементы - комплексные числа с модулем, равным 1.

Унитарные элементы А образуют группу по умножению - унитарную группу А. Действительно, если x и y - унитарные элементы *-алгебры А, то

((хy)*)-1 = (у*х*)-1 =(х*)-1 (y*)-1 = xy,

поэтому xy унитарен, и так как ((х-1)*)-1= ((х*)-1)-1 = х-1, то х-1 унитарен.


1.5. Гомоморфизм и изоморфизм алгебр

Определение 1.7. Пусть А и В - две *-алгебры. Назовем гомоморфизмом (*-гомоморфизмом) А в В такое отображение f множества А в В, что

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (О±x) = О± f (x),

f (xy) = f (x) f (y),

f (x*) = f (x)*

для любых х,yА, О±С. Если отображение f биективно, то f называют изоморфизмом (*-изоморфизмом).

Определение 1.8. Совокупность I элементов алгебры А называется левым идеалом, если:

  1. I тЙа A;
  2. Из х, yI следует x + y I;
  3. Из хI,  а  О±А  следует О± хI.

Если I = А, то I называют несобственным идеалом.

Аналогично определяется и правый идеал. Идеал, являющийся одновременно и левым, и правым, называется двусторонним.

Всякий идеал автоматически оказывается алгеброй.

Пусть I - двусторонний идеал в алгебре А. Два элемента х, y из А назовем эквивалентными относительно идеала I, если х-yI. Тогда вся алгебра А разбивается на классы эквивалентных между собой элементов. Обозначим через А совокупность всех этих классов. Введем в А1 операции сложения, умножения на число и умножения, производя эти действия над представителями классов. Так как I - двусторонний идеал, то результат операций не зависит от выбора этих представителей.

Следовательно, А1 становится алгеброй. Эта алгебра называется фактор-алгеброй алгебры А по идеалу I и обозначается A/I.

*-гомоморфизм алгебр описывается при помощи так называемых самосопряженных двусторонних идеалов.

Определение 1.9. Идеал I (левый, правый или двусторонний) называется самосопряженным, если из хI следует х*I.

Самосопряженный идеал автоматически является двусторонним. Действительно, отображение х тЖТ х* переводит левый идеал в правый и правый идеал в левый; если поэтому отображение х тЖТ х* переводит I в I, то I есть одновременно и левый и правый идеал.

В фактор-алгебре A/I по самосопряженному двустороннему идеалу I можно определить инволюцию следующим образом. Если х-yI, то х*-y*I. Поэтому при переходе от х к х* каждый класс вычетов  х по идеалу I переходит в некоторый другой класс вычетов по I. Все условия из определения 1.2. выполнены; следовательно, A/I есть *-алгебра.

Если х тЖТ хОД есть  *-гомоморфизм А на АОД, то полный прообраз I нуля (то есть ядро данного гомоморфизма) есть самосопряженный двусторонний идеал в А. Фактор-алгебра A/I  *-изоморфна *-алгебре АОД.

Обратно, отображение х тЖТ [х] каждого элемента хА в содержащий его класс вычетов по I есть *-гомоморфизм алгебра А на A/I.


Вз 2. Представления

2.1. Определения и простейшие свойства представлений.

Определение 2.1. Пусть А - *-алгебра, Н - гильбертово пространство. Представлением А в Н называется *-гомоморфизм *-алгебры А в *-алгебру ограниченных линейных операторов L(H).

Иначе говоря, представление *-алгебры А в Н есть такое отображение из А в L(H), что

ПА (x+y) = ПА (x) + ПА (y),     ПА (О± x) = О± ПА(x),

ПА (xy) = ПА (x) ПА (y),     ПА (x*) = ПА (x)*

для любых х, y А   и О± С.

Размерность гильбертова пространства Н называется размеренностью ПА и обозначается dimПА. Пространство Н называется пространством представления ПА.

Определение 2.2. Два представления ПА1 и ПА2 инволютивной алгебры А в Н1 и Н2 соответственно, эквивалентны (или унитарно эквивалентны), если существует унитарный оператор U, действующий из гильбертова пространства Н1 в гильбертово пространство Н2, переводящий ПА1(х) в ПА2(х) для любого хА, то есть

U ПА1(х) = ПА2(х) U     для всех х А.

Определение 2.3. Представление ПА называется циклическим, если в пространстве Н существует вектор f такой, что множество всех векторов ПА (х)f (для всех хА) плотно в Н. Вектор f называют циклическим (или тотализирующим) для представления ПА.

Определение 2.4. Подпространство Н1Н называется инвариантным, относительно представления ПА, если        ПА (А)Н1Н1.

Если Н1 инвариантное подпространство, то все операторы ПА(х) (хА) можно рассматривать как операторы Н1. Сужения ПА(х) на Н1 определяют подпредставления ПА1 *-алгебры А в Н1.

Теорема 2.1. Если Н1 инвариантное подпространство Н, то его ортогональное дополнение также инвариантно.

Доказательство. Пусть f ортогонален к Н1, то есть (f, g) = 0 для всех gН1. Тогда для любого хА    (ПА(х)f, g) = (f, ПА(х)*g) = (f, ПА(х*)g) = 0, так как ПА(х*)gН1. Следовательно, вектор ПА(х)f также ортогонален к Н1.

Обозначим через Р1 оператор проектирования в Н на подпространство Н1Н1.

Теорема 2.2. Н1 - инвариантное подпространство тогда и только тогда, когда все операторы представления перестановочны с оператором проектирования Р1 на Н1.

Доказательство. Пусть Н1 - инвариантное подпространство и fН1, но также ПА(х)f Н1. Отсюда для любого вектора fН

ПА(х)Р1f Н1

следовательно, Р1ПА(х)Р1f = ПА(х)Р1f ,

то есть Р1ПА(х)Р1 = ПА(х)Р1.

Применяя операцию инволюции к обеим частям этого равенства и подставляя затем х* вместо х, получаем, что также

Р1ПА(х)Р1 = Р1ПА(х).

Следовательно, Р1ПА(х) = ПА(х)Р1; операторы Р1 и ПА(х) коммутируют.

Обратно, если эти операторы перестановочны, то для fН1

Р1ПА(х)f = ПА(х)Р1f = ПА(х)f ;

Следовательно, также ПА(х)f Н1. Это означает, что Н1 - инвариантное подпространство.

Теорема 2.3. Замкнутая линейная оболочка К инвариантных подпрост-
ранств есть также инвариантное подпространство.

Доказательство. Всякий элемент g из К есть предел конечных сумм вида

h = f1 + тАж + fn, где f1, тАж, fn - векторы исходных подпространств. С другой стороны, ПА(х)h = ПА(х)f1 +тАж+ ПА(х)fn есть сумма того же вида и имеет своим пределом ПА(х)g.


2.2. Прямая сумма представлений. Пусть I - произвольное множество. Пусть (ПАi)iI   - семейство представлений *-алгебры А в гильбертовом пространстве Нi (iI). Пусть

|| ПАi (х) || тЙд сх

где сх - положительная константа, не зависящая от i.

Обозначим через Н прямую сумму пространств Нi, то есть Н = Нi. В силу (2.1.) можно образовать непрерывный линейный оператор ПА(х) в Н, который индуцирует ПАi (х) в каждом Нi. Тогда отображение х тЖТ ПА(х) есть представление А в Н, называемое прямой суммой представлений ПАi   и обозначаемое ПАi   или ПА1тАж..ПАn в случае конечного семейства представлений (ПА1тАж..ПАn). Если (ПАi)iI - семейство представлений *-алгебры А, совпадающих с представлением ПА, и если CardI = c, то представления ПАi обозначается через сПА. Всякое представление, эквивалентное представлению этого типа, называется кратным ПА.

Для доказательства следующего понадобится лемма Цорна. Напомним ее.

Лемма Цорна. Если в частично упорядоченном подмножестве Х всякое линейно упорядоченное подмножество имеет в Х верхнюю грань, то Х содержит максимальный элемент.

Теорема 2.4. Всякое представление есть прямая сумма цикличных представлений.

Доказательство. Пусть f0 тЙа 0 - какой-либо вектор из Н. Рассмотрим совокупность всех векторов ПА(х)f0, где х пробегает всю *-алгебру А. Замыкание этой совокупности обозначим через Н1. Тогда Н1 - инвариантное подпространство, в котором  f0  есть циклический вектор. Другими словами, Н1 есть циклическое подпространство представления ПА.

Если Н1 = H, то предложение доказано; в противном случае H1 есть отличное от {0} инвариантное подпространство. Применяя к нему тот же прием, мы выделим циклическое подпространство Н2 ортогональное Н1.

Обозначим через М совокупность всех систем {НО±}, состоящих из взаимно ортогональных циклических подпространств представления; одной из таких систем является построенная выше система {Н1, Н2}. Упорядоченная при помощи соотношения включения совокупность М образует частично упорядоченное множество, удовлетворяющее условиям леммы Цорна; именно, верхней гранью линейно упорядоченного множества систем {НО±}М будет объединение этих систем. Поэтому в М существует максимальная система {НО±}. Но тогда Н=НО±; в противном случае в инвариантном подпространстве Н-(НО±) существовало бы отличное от {0} циклическое подпространство Н0 и мы получили бы систему {НО±}Н0М, содержащую максимальную систему {НО±}, что невозможно.


2.3. Неприводимые представления.

Определение 2.5. Представление называется неприводимым, если в пространстве Н не существует инвариантного подпространства, отличного от {0} и всего Н.

Согласно теореме 2.2. это означает, что всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами представления, равен 0 или 1.

Всякое представление в одномерном пространстве неприводимо.

Теорема 2.5. Представление ПА в пространстве Н неприводимо тогда и только тогда, когда всякий отличный от нуля вектор пространства Н есть циклический вектор этого представления.

Доказательство. Пусть представление ПА неприводимо. При fН, f тЙа 0, подпространство, натянутое на векторы ПА(х)f , хА, есть инвариантное подпространство; в силу неприводимости представления оно совпадает с {0} или Н. Но первый случай невозможен, ибо тогда одномерное пространство

{О± f | О± C} инвариантно и потому совпадает с Н, то есть ПА(х)=0 в Н. Во втором же случае f есть циклический вектор.

Обратно, если представление ПА приводимо и К - отличное от {0} и Н инвариантное подпространство в Н, то никакой вектор f из К не будет циклическим для представления ПА в Н.

Теорема 2.6. (И.Шур) Представление ПА неприводимо тогда и только тогда, когда коммутант ПА (А) в L(H) сводится к скалярам (то есть операторам кратным единичному).

Доказательство. Пусть представление ПА неприводимо и пусть ограни-
ченный оператор В перестановочен со всеми операторами ПА(х). Предположим сначала, что В - эрмитов оператор; обозначим через E(О») спектральные проекторы оператора В. Тогда при любом О» оператор E(О») перестановочен со всеми операторами ПА(х) ; в виду неприводимости представления E(О») =0 или E(О») =1, так как (E(О») f, f) не убывает при возрастании О», то отсюда следует, что существует О»0 такое, что E(О») =0 при О»<О»0 и E(О») =1 при О»>О»0 . Отсюда

В=О» dE(О») = О»0 1.

Пусть теперь В - произвольный ограниченный оператор, переста-
новочный со всеми операторами ПА(х). Тогда В* также перестановочен со всеми операторами ПА(х). Действительно,

В*ПА(х) = (ПА(х*)В)* = (ВПА(х*))* = ПА(х)В*

Поэтому эрмитовы операторы В1=, В2= также перестановочны со всеми операторами ПА(х) и, следовательно, кратны единице. Но тогда и оператор В = В1+iВ2 кратен единице, то есть В - скаляр.

Обратно, пусть всякий ограниченный оператор, перестановочный со всеми операторами ПА(х), кратен единице. Тогда, в частности, всякий оператор проектирования, перестановочный со всеми операторами ПА(х) кратен единице. Но оператор проектирования может быть кратным единице только тогда, когда он равен 0 или 1. Следовательно, представление неприводимо.

Определение 2.6 Всякий линейный оператор Т : Н тЖТ НОД такой, что ТПА(х)=ПАОД(х)Т для любого хА, называется оператором сплетающим ПА и ПАОД.

Пусть Т : Н тЖТ НОД - оператор, сплетающий ПА и ПАОД. Тогда Т* : НОД тЖТ Н является оператором, сплетающим ПАОД и ПА, так как

Т* ПАОД(х) = (ПАОД(х)Т)* = (ТПА(х*))* = ПА(х)Т*

Отсюда получаем, что

                                        Т* ТПА(х)=Т* ПАОД(х)Т= ПА(х)Т*Т                                     (2.1.)

Поэтому |T| = (T*T)1/2 перестановочен с ПА(А). Пусть Т = U|T| - полярное разложение Т. Тогда для любого хА

               UПА(х)|T| = U|T| ПА(х)= ТПА(х)= ПАОД(х)Т=ПАОД(х)U|T|                        (2.2.)

Если KerT={0}, то |T| (Н) всюду плотно в Н и из (2.2.) следует

                                        UПА(х) = ПАОД(х)U                                                    (2.3.)

Если, кроме того, = НОД, то есть если KerT*={0}, то U является изоморфизмом Н и НОД  и (2.3.) доказывает что ПА и ПАОД эквивалентны.

Пусть ПА и ПАОД - неприводимые представления *-алгебры А в гильбертовых пространствах Н и НОД  соответственно. Допустим, что существует ненулевой сплетающий оператор Т : Н тЖТ НОД. Тогда из (2.1.) и теоремы 2.6. следует, что Т*Т и ТТ* - скалярны (тЙа0) и ПА, ПАОД эквивалентны.


2.4. Конечномерные представления.

Теорема 2.7. Пусть ПА - конечномерное представление *-алгебры А. Тогда ПА = ПА1тАж..ПАn , где ПАнеприводимы.

Доказательство. Если dimПА = 0 (n=0), то все доказано. Предположим, что dimПА = q и что наше предложение доказано при dimПА<q. Если ПА неприводимо, то предложение снова доказано. В противном случае ПА = ПАОД ПАОДОД, причем dimПАОД<q, dimПАОДОД<q, и достаточно применить предположение индукции.

Разложение ПА = ПА1тАж..ПАn не единственно. Тем не менее, мы получим некоторую теорему единственности.

Пусть ПБ1, ПБ2 - два неприводимых подпредставления ПА. Им отвечают инвариантные подпространства Н1 и Н2. Пусть Р1 и Р2 - проекторы Н на Н1 и Н2. Они коммутируют с ПА(А). Поэтому ограничение Р2 на Н1 есть оператор, сплетающий ПБ1 и ПБ2. Следовательно, если Н1 и Н2 не ортогональны, то из пункта 2.3. следует, что ПБ1 и ПБ2 эквивалентны. Это доказывает, что любое неприводимое подпредставление ПА эквивалентно одному из ПАi . Итак, перегруп-
пировав ПАi , получаем, что ПА = ОЅ1тАж..ОЅm, где каждое  ОЅi есть кратное ПБiОЅiОД неприводимого представления ОЅiОД, и ОЅiОД попарно эквивалентны. Если ПБ - неприводимое представление ПА, то предыдущее рассуждение показывает, что соответствующее инвариантное подпространство НОД ортогонально всем инвариантным подпространствам Нi, отвечающих ОЅi, кроме одного. Поэтому НОД содержится в одном из Нi. Это доказывает, что каждое пространство Нi определяется однозначно: Нi - это подпространство Н, порожденное пространствами подпредставлений ПА, эквивалентных ОЅiОД. Таким образом, доказано предложение.

Теорема 2.8. В разложении ПА = ПБ1ОЅ1ОДтАж..ПБmОЅmОД представления ПА, (где ОЅ1ОД,тАж, ОЅmОД неприводимы и неэквивалентны) целые числа ПБi и классы представлений ОЅiОД  определяются единственным образом, как и пространства представлений.


2.5. Интегрирование и дезинтегрирование представлений. Напомним определение борелевского пространства.

Определение 2.7. Борелевским пространством называется множество Т, снабженное множеством В подмножеств Т, обладающим следующими свойствами: ТВ, ГШВ, В инвариантно относительно счетного объединения, счетного пересечения и перехода к дополнению.

Определение 2.8. Пусть Т1, Т2 - борелевские пространства. Отображение f: Т1тЖТТ2 называется борелевским, если полный прообраз относительно f любого множества в Т2 есть борелевское множество в Т1.

Дадим несколько вспомогательных определений и утверждений.

Пусть Т - борелевское пространство и Ој - положительная мера на Т.

Определение 2.9. Ој - измеримое поле гильбертовых пространств на Т есть пара Оµ = ((H(t))tT, Г), где (H(t))tT - семейство гильбертовых пространств, индексы которых пробегают Т, а Г - множество векторных полей, удовлетворяющее следующим условиям:

(i)        Г - векторное подпространство    Н(t);

  1. существует последовательность (х1, х2,тАж) элементов Г таких, что для любого tT элементы хn(t) образуют последовательность H(t);
  2. для любого хГ функция tтЖТ||x(t)||  Ој - измерима;
  3. пусть х - векторное поле; если для любого yГ функция tтЖТ(x(t), y(t)) Ој - измерима, то хГ.

Пусть Оµ = ((H(t))tT, Г) Ој - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Векторное поле х называется полем с интегрируемым квадратом, если хГ и ||x(t)||2 dОј(t) < +тИЮ.

Если х, y - с интегрируемым квадратом, то х+y и О»х (О»С) - тоже и функция t тЖТ(x(t), y(t)) интегрируема; положим

(x, y) = (x(t), y(t)) dОј(t)

Тогда векторные поля с интегрируемым квадратом образуют гильбертово пространство Н, называемое прямым интегралом Н(t) и обозначаемое x(t)dОј(t).

Определение 2.10. Пусть Оµ = ((H(t))tT, Г) - измеримое поле гильбер-
товых пространств на Т. Пусть для любого tT определен оператор S(t)L(H(t)). Если для любого хT поле tтЖТS(t)x(t) измеримо, то tтЖТS(t) называется измеримым операторным полем.

Пусть Т - борелевское пространство, Ој  - положительная мера на Т, tтЖТН(t) - Ој  - измеримое поле гильбертовых пространств на Т. Пусть для каждого tT задано представление ПА(t) *-алгебры А в Н(t): говорят, что tтЖТПА(t) есть поле представлений А.

Определение 2.11. Поле представлений tтЖТПА(t) называется измеримым, если для каждого хА поле операторов tтЖТПА(t измеримо.

Если поле представлений tтЖТПА(t) измеримо, то для каждого хА можно образовать непрерывный оператор ПА(х)=ПА(t) (x) dОј(t)    в гильбертовом прост-
ранстве Н =Н(t) dОј(t).

Теорема 2.9. Отображение хтЖТПА(х) есть представление А в Н.

Доказательство. Для любых х, yА имеем

ПА(х+y) = ПА(t) (x+y) dОј(t) = (ПА(t) (x) + ПА(t) (y)) dОј(t) =ПА(t) (x )dОј(t) +

+ПА(t) (y) dОј(t) = ПА(х) +ПА(y)

Аналогично ПА(О»х) = О»ПА(х), ПАy) = ПА(х) ПА(y), ПА(х*)=ПА(х)*

Определение 2.12. В предыдущих обозначениях ПА называется прямым интегралом ПА(t) и обозначается ПА =ПА(t) dОј(t).

Определение 2.13. Операторное поле tтЖТПЖ(t)I(t)L(H(t)) где I(t)-единичный оператор в H(t), называется диагональным оператором в Н=Н(t)dОј(t).

Пусть Оµ = ((H(t))tT, Г) - Ој-измеримое поле гильбертовых пространств на Т, Ој1 - мера на Т, эквивалентная Ој (то есть каждая из мер Ој1, Ој абсолютно непрерывна по другой), и ПБ(t)=. Тогда отображение, которое каждому хН==Н(t)dОј(t) составляет поле tтЖТПБ(t)-1/2х(t)Н1=Н(t) dОј1(t),

есть изометрический изоморфизм Н на Н1, называемый каноническим.

Действительно,

||ПБ(t)-1/2х(t)dОј1(t)||2 = ||х(t)||2ПБ(t)-1 dОј1(t) = ||х(t)||2dОј1(t) = ||х(t)||2

Теорема 2.10. Пусть Т - борелевское пространство, Ој - мера на Т, tтЖТН(t) - измеримое поле гильбертовых пространств на Т, tтЖТПА(t) - измеримое поле представлений А в Н(t),

Н =Н(t) dОј(t) , ПА1==ПА(t )dОј(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Пусть Ој1 - мера на Т, эквивалентная Ој,

Н1 =Н(t) dОј1(t) , ПА1 =ПА(t) dОј1(t),

Д1 - алгебра диагональных операторов в Н1. Тогда канонический изоморфизм преобразует ПА в ПА1 и Д в Д1.

Доказательство. Пусть ПБ(t)=. Канонический изоморфизм из Н в Н1 есть изометрический изоморфизм, который переводит х =x(t) dОј(t)Н       в

Ux = ПБ-1/2х(t) dОј1(t).

Пусть О± А. Имеем

ПА1(О±)Ux = ПА(t)(О±) ПБ-1/2 х(t) dОј1(t) = UПА(t)(О±) х(t) dОј(t) = UПА(О±)x,

поэтому и преобразуем ПА в ПА1. Тогда если SД, то аналогично SUx = USx, для любого хН.

Определение 2.14. Пусть Т, Т1 - борелевские пространства; Ој, Ој1 - меры на Т и Т1 соответственно; Оµ = ((H(t))tT, Г), Z1 = ((H1(t1))t1T1, Г), - Ој-измеримое и Ој1-измеримое поля гильбертовых пространств. Пусть О·: ТтЖТТ1 - борелевский изоморфизм, переводящий Ој в Ој1; О·-изоморфизм Оµ на Оµ1 называется семейство (V(t))tT, обладающее следующими свойствами:

  1. для любого  tT отображение V(t) является изоморфизмом Н(t) на Н1(О·(t));
  2. для того, чтобы поле векторов tтЖТx(t)H(t) на Т было Ој-измеримо, необходимо и достаточно, чтобы поле О·(t)тЖТV(t)х(t) Н1(О·(t)) на Т1 было Ој1-измеримо.

Отображение, переводящее поле хН =Н(t) dОј(t) в поле О·(t))тЖТV(t)х(t)  Н1 = Н1(t) dОј1(t) , есть изоморфизм Н на Н1, обозначаемый V(t) dОј(t).

Теорема 2.11. Пусть Т - борелевское пространство; Ој - мера на Т, tтЖТH(t) - Ој- измеримое поле гильбертовых пространств на Т, tтЖТ ПА(t) - Ој- измеримое поле представлений А в H(t),

Н =Н(t) dОј(t),    ПА ==ПА(t) dОј(t),

Д - алгебра диагональных операторов в Н. Определим аналогичным образом Т1Ој1t1тЖТH1(t1),  t1тЖТ ПА1(t1), Н1, ПА1, Д1.

Предположим, что существует:

  1. N, N1 - борелевские подмножества Т и Т1, такие что Ој (N) = Ој (N1) = 0;
  2. борелевский изоморфизм О·: T\N тЖТT\N1, преобразует Ој в Ој1;
  3. О·-изоморфизм tтЖТV(t) поля tтЖТН(t) (tZ\N) на поле t1тЖТН1(t1) (t1Т1\N1) такой, что V(t) преобразует ПА(t) в ПА1(О·(t)) для каждого t.

Тогда V =V(t)dОј(t) преобразует Д в Д1 и ПА в ПА1.

Доказательство. Обозначим через It, It1 единичные операторы в Н(t) и Н1(t1). Если fLтИЮ(T, Ој)  и если f1 - функция на Т1\N1, получаемая из f|(T\N) при помощи О·, то V преобразует f(t)It dОј(t)  в  f1(t1) It1 dОј1(t1), поэтому V преоб-
разует Д в Д1. С другой стороны, пусть О±А и х = х(t) dОј(t)Н.

Тогда 

VПА(О±= VПА(t)(О±) х(t) dОј(t) = V(О·-1(t1)) ПА(О·-1(t1))(О±) х(О·-1(t1)) dОј1(t1) = ПА1(t1)(О±) V(О·-1(t1)) х(О·-1(t1)) dОј1(t1) = ПА1 (О±) V х

Поэтому V преобразует ПА в ПА1.

Приведем примеры прямых интегралов.

  1. Пусть имеется последовательность гильбертовых пространств и дискретная мера Ој на N, то есть Ој(n)=1 для любого nN. Тогда

Н(n) dОј(n) = Н(n), то есть прямой интеграл сводится к ортогональ-
ной сумме.

  1. Пусть Т=[0, 1] и в каждой точке tТ соответствует поле комплексных чисел С, и  на Т задана линейная мера Лебега dt. Тогда С dt = L2 (0, 1).
Изоморфизм устанавливается отображением х = х(t) dt тЖТх(t)L2 (0, 1).

Разложения представления на неприводимые представления в прямой интеграл называют дезинтегрированием.

Вз 3. Тензорные произведения пространств

3.1. Тензорные произведения пространств. Пусть - конечная последовательность сепарабельных гильбертовых пространств, - некоторый ортонормированный базис в Нк.

Образуем формальное произведение

                                                                                        (3.1.)

О± = (О±1,тАж, О±n) (n раз), то есть рассмотрим упорядо-
ченную последовательность (  ) и на формальные векторы (3.1.) натянем гильбертово пространство, считая, что они образуют его ортонормиро-
ванный базис. Полученное сепарабельное гильбертово пространство называется тензорным произведением пространств Н1,тАж, Нn и обозначается Н1,тАж, Нn = . Его векторы имеют вид:

f = (fО±C),      || f ||2 =< тИЮ                                            (3.2.)

Пусть g = , тогда скалярное произведение опреде-
ляется формулой

(f, g) =                                                                                         (3.3.)

Пусть f(k) = (к = 1,тАж, n) - некоторые векторы. По определению

f = f(1)тАж f(n) =                                                            (3.4.)

Коэффициенты fО± = разложения (3.4.) удовлетворяют условию (3.2.), поэтому вектор (3.4.) принадлежит , при этом

|| f || =                                                                                         (3.5.)

Функция Н1,тАж, Нn <> линейна по каждому фрагменту, а линейная оболочка L векторов (3.4.) плотна в  - эта линейная оболочка называется алгебраическим (непополненным) тензорным произведением пространств Н1,тАж, Нn и обозначается      О±.

Приведенное определение тензорного произведения зависит от выбора ортогонального базиса в каждом сомножителе . При изменении базисов получаем тензорное произведение, изоморфное с сохранением своей структуры исходному произведению.

Пусть Н1 и Н2 - гильбертовы сепарабельные пространства. Тогда конструкция тензорного произведения означает следующее. Рассматривается линейная оболочка L формальных произведений f1 f2, причем считается, что

(f1 + g1) f2 = f1 f2 + g1 f2                      (3.6.)

f1 (f2 + g2) = f1 f2 + f1 g2                      (3.7.)

(О» f1) f2=О» (f1 f2)                                       (3.8.)

f1 О» (f2) = О» (f1 f2)                                     (3.9.)

f1, g1Н1; f2, g2 Н2; О» С.

Иными словами, линейное пространство L факторизируется по его линейному подмножеству, натянутому на всевозможные векторы, имеющие вид разностей между правыми и левыми частями равенств (3.6.) - (3.9.).

Затем вводится скалярное произведение в L.

(f1 f2 , g1 g2 ) = (f1 g1)(f2 g2)                                                              (3.10.)

f1, g1Н1; f2, g2 Н2,

а затем распространяется на другие элементы из факторизованного L билинейным образом.


3.2. Тензорные произведения операторов. Определим тензорное произведение ограниченных операторов.

Теорема 3.1. Пусть , - две последовательности гильбер-
товых пространств, - последовательность операторов АкL(Нк, Gк). Определим тензорное произведение А1 тАжАn = Ак  формулой

() = () =         (3.11.)

(f ).

Утверждается, что ряд в правой части (3.11.) сходится слабо в и определяет оператор L (), причем

                                || || = || ||                                          (3.12.)

Доказательство. Достаточно рассмотреть случай n=2, так как в силу равенства Н1,тАж, Нn = (Н1,тАж, Нn-1)Нn общий случай получается по индукции.

Пусть - некоторый ортонормированный базис в Gк (к = 1, 2) и пусть g = G1 G2. В качестве  f возьмем вектор из Н1 Н2 с конечным числом отличных от нуля координат fО±.

Зафиксируем О±2, ОІ1 Z+ и обозначим через f(О±2) Н1 вектор f(О±2) = и через g(ОІ1)G2 - вектор g(ОІ1) =. Получим

= =

= тЙд =

= тЙд =

=

Из этого неравенства следует слабая сходимость в G1G2 ряда уже при произвольном  c Н1Н2 и оценка его нормы в G1G2 сверху через ||A1||  ||A2||  ||f||. Таким образом, оператор A1 A2: Н1 Н2 тЖТG1G2 определен посредством (3.11.) корректно, ограничен и его норма не превосходит ||A1||  ||A2||.

Из (3.5.) и (3.11.) следует

||(A1 A2) (f1 f2)|| = ||A1 f1|| ||A2 f2||   (fк Нк , к = 1, 2)

Подбирая должным образом орты f1, f2 последнее произведение можно сделать сколь угодно близким к ||A1||  ||A2||, поэтому неравенство ||(A1 A2)|| тЙд ||A1|| ||A2|| не может выполняться, то есть (3.12.) при n=2 доказано.

Из (3.11.) получаем для  Ак L(Hк, Gк),  Вк L(Hк, Gк)  (к = 1,тАж, n) соотношения

(Вк) (Ак) = (Вк Ак)                                                                   (3.13.)

(Ак)* = Ак*                                                                                     (3.14)

(Ак) (f1 тАж fn) = A1 f1тАж An fn                                          (3.15.)

(fк Hк;  к = 1,тАж, n)

(3.15) однозначно определяет оператор Ак.

Приведем пример. Пусть Hк = L2((0,1), d (mк)) = L2

Действительно, вектору вида (3.1.)  поставим в соответствие функцию L2. Такие функции образуют ортонормированный базис пространства L2, поэтому такое соответствие порождает требуемый изоморфизм между и L2.

Глава II. Задача о двух ортопроекторах

Вз 1. Два ортопроектора в унитарном пространстве

    1. Постановка задачи. Пусть дана *-алгебра P2

P2 = Ср1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

порожденная двумя проекторами, то есть двумя идемпотентными самосопряженными элементами.

Положим u = 2p1 - 1, v = 2p2 - 1, тогда u, v самосопряженные элементы.

u2 = (2p1 - 1)2 = 4p1 - 4p1 + 1 = 1, v2 = 1. Таким образом u, v - унитарные самосопряженные элементы.

Тогда *-алгебру P2 можно задать иначе:

P2  = С < p1*= p1, p2*=p2 | p12 = p1, p22 = p2 > = C <u* = u, v* = v | u2 = 1, v2 =1 >

Это групповая *-алгебра, порожденная двумя унитарными самосопряженными элементами.

Требуется найти все неприводимые представления *-алгебры P2 , с точностью до унитарной эквивалентности.


1.2. Одномерные *-представления *-алгебры P2 . Пусть ПА: P2 тЖТL(H) - *-представление *-алгебры P2 . Рассмотрим сначала случай, когда dim H = 1, то есть dim ПА = 1.

P2 = Ср1, р2 | р12 = р1* = р1, р22 =р2* = р2 >

Обозначим через Рк = ПАк), к = 1,2. Поскольку рк2= рк* = рк (к = 1, 2) и ПА - *-представление, то Рк2 = Рк* =  Рк  (к =1, 2) - ортопроекторы в Н на подпространстве Нк = {yH | Рк y = y } к = 1, 2.

Возможны следующие случаи:

  1. Н1 = Н2 = {0}; тогда Р1 = 0, Р2 = 0.
  2. Н1 = Н (то есть dim H1 =1), Н2 = {0}, тогда Р1 = 1, Р2 = 0.
  3. Н1 = {0}, Н2 = Н (то есть dim H2 =1), тогда Р1 = 0, Р2 = 1.
  4. Н1 = Н2 = Н (dim H1 = dim H2 =1), тогда Р1 = 1, Р2 = 1.

Так как dim H =1, то мы можем получить 4 одномерных неприводимых *-представлений P2, причем они неэквивалентны.


1.3. Двумерные *-представления *-алгебры P2 . Обозначим через Нк область значений оператора Рк  при к = 1,2. Пусть НктФґ - ортогональное дополнение подпространства Нк (к = 1,2) в Н. Тогда Н=H1Н1тФґ , Н=H2Н2тФґ

Введем дополнительные обозначения :

Н0,0 = Н1тФґ тИйН2тФґ, Н0,1 = Н1тФґ тИйН2, Н1,0 = Н1 тИйН2тФґ, Н1,1 = Н1 тИйН2.                       (1.1.)

Пусть dim H = 2. предположим, что существуют i и j такие, что Hij нетривиально, то есть dim Hij =1. Пусть, например, dim Н1,0 = 1 (остальные случаи аналогичны). Тогда в H существует ненулевой вектор h такой, что Н1,0 = л.о. {h}, но тогда P1h = h, P2h = 0; следовательно Н1,0  инвариантное подпространство. Значит в этом случае *-представление ПА не может быть неприводимым.

Будем считать, что Hij ={0} для любых i = 0, 1 и j =0, 1, (то есть Hij линейно независимы) и dim H1 = dim H2 =1. Тогда в Н можно найти два ортогональных базиса {e1, e2} и {g1, g2}, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид . Найдем матрицу оператора Р2 в базисе {e1, e2}.

Пусть        g1 = a11e1 + a12 e2

                  g2 = a21e1 + a22e2

                  e1 = b11g1 + b12g2

                 e2 = b21g1 + b22g2

Рассмотрим векторы h1 = eite1 и h2 = eile2, тогда

|| h1 || = || eite1 || = || e1 || = 1,             || h2 || = || eile2 || = || e2 || = 1

(h1 ,h2 ) = (eite1 , eile2) = ei(t-l)(e1, e2 ) = 0, то есть {h1 ,h2} - ортонормированный базис.

Р1h1 =ei t Р1 e1 = h1,     Р1h2 =eil Р1 e2 = 0.

Значит в базисе {h1 ,h2}  матрица оператора Р1 также имеет вид . Тогда можно считать, что a11, a12 > 0 (так как, например, a11 e1=|a11| eite1 =|a11| h1)

(e1, e2 ) = 0, значит a11 a21 = a12 a22  = 0  или , тогда существует такое комплексное число r, что

a22  = - ra11

a21 = ra12

Базис (e1, e2 ) ортонормированный; следовательно

a112 + a122 = 1

|a22 |2 + |a21 |2 = 0

тогда | r | = 1.

Р2 e1 = Р2 ( b11g1 + b12g2) = b11g1 = b11a11e1 + b11a12e2,

Р2 e2 = Р2 ( b21g1 + b22g2) = b21g1 = b21a11e1 + b21a12e2.

Найдем b11 и b21:

e1 = b11g1 + b12g2 = b11 (a11e1 + a12 e2) + b12 (a21e1 + a22e2) = (b11a11 + b12a12)e1 + (b11a12 + b12a22)e2,

b11a11 + b12a12 = 1

b11a12 + b12a22 = 0        или

b11a11 + b12a12 r = 1

b11a12 - b12a11 r = 0,

Тогда  b11 = a11.

Аналогично

E2 = b21g1 + b22g2 = (b21a11 + b22a21)e1 + (b21a12 + b22a22)e2,

b21a11 + b22a21= 0

b21a12 + b22a22 = 1,

отсюда находим, что b21 = a12.

Тогда матрица оператора Р2 в базисе {e1, e2 } будет иметь вид (обозначим ее также через Р2)

Р2 = , где a11>0, a12>0 и a112 + a122 =1

А) Пусть a112 = ПД, тогда a122 =1 - ПД, a11a12 = . Так как a11a12 >0, то ПД(0, 1).

Тогда Р2 = .

В) Положим a11 = cosПЖ,тогда a12 = sinПЖ и Р2 запишется следующим образом

Р2 = .

Найдем коммутант ПА(P2). Пусть Т = оператор перестановочный с Р1 и Р2, тогда

ТР1 = =

Р1Т = =

Следовательно b = c = 0.

ТР2 = =

Р2Т = =

Следовательно a = d. Тогда Т скалярный оператор и по лемме Шура (теорема 2.6. глава I) представление ПА неприводимо.

Покажем, что все эти представления неэквивалентны.

Пусть ПД, ОЅ(0, 1), ПД тЙа ОЅ. Предположим, что существует унитарный оператор в Н, устанавливающий эквивалентность. Тогда

UР1 = Р1U, следовательно U= , a, b C

UР2 (ПД) = =

Р2 (ОЅ) U = = .

Тогда ПД = ОЅ, следовательно U = 0 и представления неэквивалентны.

Теорема 1.1. Пусть ПА: PтЖТL(H) - *-представление *-алгебры P2 .

Тогда:

(i) Все одномерные и неэквивалентные представления имеют вид: ПА0,0(p1) = 0;  ПА0,0(p2) = 0;   ПА1,0(p1) = 1; ПА1,0(p2) = 0; ПА0,1(p1) = 0; ПА0,1(p2) = 1;  ПА1,1(p1) = 1ПА1,1(p2) = 1;

(ii) Все двумерные неприводимые и неэквивалентные представления имеют вид: ПА(p1) ,   ПА(p2) ПД (0, 1).

Доказательство следует из сказанного выше и в пункте (ii) можно положить ПА(p2) = ПЖ (0, ).


1.4. n - мерные *-представления *-алгебры P2 . Рассмотрим случай нечетной размерности пространства Н. Если dimН=2n+1, где n>1 натуральное, то выполняется неравенство

max (dimН1, dimН1тФґ) + max (dimН2, dimН2тФґ) > 2n+1                           (1.4.)

Тогда обязательно найдутся такие i = 0,1 и j= 0,1, что Нi,j тЙа {0}, следовательно, существует нетривиальное инвариантное подпространство относительно *-представления ПА, но тогда ПА приводимо.

Пусть теперь dimН=2nn>1 натуральное. Будем считать, что dimН1 = n, dimН2 = n и Нi,j = {0} для любых i = 0,1 и j= 0,1, то есть Нi,j линейно независимы. Если это не так, то снова будет выполнятся неравенство (1.4.) и *-представление ПА окажется приводимым. При этих условиях справедлива лемма.

Лемма 1.1. Существует х тЙа 0, хН1 такой, что Р1Р2х = О»х, где О»С.

Доказательство. Пусть , ортонормированный базисы в Н, в которых матрицы операторов Р1 и Р2 имеют вид , где I - единичная матрица порядка n. Пусть базисы (е) и (g) связаны уравнениями

                                      

к = 1,тАж, n                                          к = 1,тАж, n

Так как хН1, то , gk C, к = 1,тАж, n. Тогда

Р1Р2х = Р1Р2= Р1Р2= Р1=

= Р1= = () =

Таким образом получаем систему линейных однородных уравнений относительно q1,тАж, qn:

=

j = 1,тАж, n

Подбирая О»C так, чтобы определитель этой системы обратился в нуль, получим ненулевое решение q1,тАж, qn. Это доказывает лемму.

Лемма 1.2. Пусть элемент х удовлетворяет условиям леммы 15. Тогда L=л.о. {х, Р2х} - инвариантное подпространство в Н относительно Р1 и Р2.

Доказательство. Проверим инвариантность L. Для любых a, b С имеем

Р1 (aх + bР2х) = aх + О»bх = (a + О»b) х L,

Р2 (aх + bР2х) = aР2х + bР2х = (a + b) Р2 х L

dimL = 2, так как Нi,j = {0} (для всех i, j= 0,1).

Действительно, если aх + bР2х = 0, где, например, а тЙа 0, то х = Р2х, значит = 0 или 1 и х Н1,1; тогда Н1,1тЙа{0}.

Итак, получаем предложение.

Теорема 1.2. Если dimН = nn>2, то нет неприводимых *-пред-
ставлений *-алгебры  P2 . Все неприводимые конечномерные *-представления одномерны и двумерны.


1.5. Спектральная теорема. Пусть dimН = n. В этом пункте мы получим разложение на неприводимые *-подпредставления исходного *-представления ПА *-алгебры P2, а также разложение пространства Н на инвариантные подпространства относительно ПА.

Теорема 3.1. (спектральная теорема). Существует единственное разложе-
ние Н в ортогональную сумму инвариантных относительно Р1 и Р2 подпространств

Н = Н0,0Н0,1Н1,0Н1,1 ((С2Нк)),                                   (1.1.)

где каждому подпространству Нк соответствует одно ПЖк (0, ), ПЖк тЙа ПЖi при ктЙаi, dimНк = nк (к = 1,тАж, m). Пусть  Рi,j: Н тЖТ Нi,j ,    РПЖк: Н тЖТ С2Нк - ортопроекторы к = 1,тАж, m. Тогда существуют единственные разложения операторов

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1(РПЖк),                                                 (1.2.)

P1 = P1,0P1,1((Iк ))                                                        (1.3)

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))               (1.4)

где Iк - единичный оператор на Нк  (к = 1,тАж, m).

Доказательство. Пусть dimНi,j = ni,j. Сразу можем записать разложение

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 НОД, где dimНОД четное число. Используя лемму 1.2. и теорему 2.1. главы I можем написать разложение НОД в ортого-
нальную сумму инвариантных двумерных подпространств, определяемых параметром ПЖк (0, ):

НОД = НПЖк,    (l = n - )

Собирая вместе все НПЖк, у которых одно ПЖк, получим изоморфизм

НПЖктАжНПЖк тЙИ С2Нк , где НПЖк nк экземпляров, dim(НПЖктАжНПЖк )=2nк dim(С2Нк) = dimС2 dimНк = 2nк . Следовательно, получаем разложение (1.1.)

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 ((С2Нк))

Пусть ПАi,j - сужение ПА на Нi,j ( i, j= 0,1), ПАк - сужение ПА на НПЖк (к = 1,тАж, m), то есть ПАi,j и ПАк - *-подпредставления.

Учитывая кратности подпредставлений получаем

ПА = n0,0ПА0,0n0,1ПА0,1n1,0ПА1,0n1,1ПА1,1(nкПАк)              (1.5.)

В силу теоремы 2.8. главы I разложения (1.1.) и (1.5.) единственные.

Из (1.1.) следует разложение единичного оператора I (1.2.)

I = P0,0 P0,1 P1,0 P1,1 (РПЖк)

Тогда ортопроекторы Р1 и Р2 примут вид

P1 = P1,0 P1,1 ((Iк ))

Р2 = P0,1 P1,1 ( Iк ))

Причем    n1,0ПА1,0(р1) = P1,0 ,    n0,1ПА0,1(p2) = P0,1 ,   n1,1ПА1,1(р1) = P1,1 , n0,0ПА0,0(p2) = P0,0. В силу теоремы 2.8. главы I разложения I, Р1 и Р2 также определяются однозначно.

Вз 2. Два ортопроектора в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Неприводимые *-представления *-алгебры P2 . Пусть А = Р1 - Р1тФґ = 2Р1 - I и В = Р2 - Р2тФґ = 2Р2 - I. Тогда А2 = I , В2 = I. Следовательно А и В самосопряженные унитарные операторы в Н. Положим U=АВ, тогда U-1=ВА  и  А-1UА = АUА = А2ВА = ВА = U-1, следовательно

UА = АU-1   или    АU = U-1А        (2.1.)

Лемма 2.1. Операторы А и В неприводимы тогда и только тогда, когда операторы А и U неприводимы.

Доказательство. Допустим, что А и В неприводимы. Пусть существует нетривиальное инвариантное подпространство L относительно операторов А и U. Тогда UL = АВLL, но тогда ВLАLL, то есть пара А, В - приводима.

Обратно, пусть А и U неприводимы. Если операторы А и В приводимы, то есть LН: АLL и ВLL, то из включения АВLАLL следует приводимость А и U, что невозможно.

Лемма 2.2. Ортопроекторы Р1 и Р2 неприводимы тогда и только тогда, когда А и В неприводимы.

Доказательство. Пусть Р1 и Р2 приводимые операторы, когда существует нетривиальное инвариантное подпространство LН такое, что Р1LL, Р2LL. Рассмотрим АL = (2Р1 - I)LL, ВL = (2Р2 - I)LL, то есть А и В приводимы.

Обратно, пусть А и В приводимые операторы, тогда Р1 и Р2 также будут приводимы, так как Р1L = LL, Р2L = LL, для любого инвариантного относительно А и В подпространства L в Н.

Лемма 2.3. Если eiПЖ(U), то e-iПЖ(U).

Доказательство.

1) Если eiПЖ принадлежит точечному спектру оператора U, то существует fН: ||f|| = 1 и Uf = eiПЖ f. Тогда по (2.1.)   UАf = АU-1f = eiПЖАf, следовательно, Аf  собственный вектор оператора U, то есть e-iПЖ принадлежит спектру U.

2) Если eiПЖ(U), то существует последовательность единичных векторов   в Н    || fn || = 1 такая, что

||Ufn - eiПЖfn || = || UАfn - eiПЖ A fn || = || U-1Аfn - eiПЖ A fn || тЖТ 0 при n тЖТ тИЮ (|| Аfn || =1)

Тогда eiПЖ(U-1), следовательно e-iПЖ(U).

Теорема 2.1. Неприводимые пары А и В самосопряженных операторов лишь одномерны и двумерны.

Доказательство. Рассмотрим соотношения

А (U + U-1) = АU + АU-1 =  (U-1 +U

А (U - U-1) =  А (U2 - 2I + U-2) =  (U2 - 2I + U-2)А =  (U - U-1)2А

Таким образом             А (U + U-1) =  (U-1 +U)А             (2.2.)

                                      А (U - U-1) =  (U - U-1)2А              (2.3.)

Пара А и U неприводима (лемма 2.1.), тогда по теореме 2.6. главы I имеем

U + U-1 = cI

(U - U-1)2 = d2I

где c, d С. По теореме преобразования спектров eiПЖ+ e-iПЖ = c, eiПЖ- e-iПЖ = В±d.

  1. Если d = 0, то (U) состоит из одной точки eiПЖ, где ПЖ=0 или ПЖ=ПА, и U = I или U = -I. Так как А, U неприводимая пара, то dimН=1 и А = +I или А = -I. Поскольку существует одномерное инвариантное подпространство y оператора А: л.о. {(A+I)x}, хH.
  2. Если    d тЙа 0,   то (U)  дискретен и состоит из двух точек    eiПЖ= и e-iПЖ=        ПЖ(0, ПА)

Собственное подпространство оператора U, отвечающее собственному значению eiПЖ (или e-iПЖ), НeiПЖ = {fH | Uf = eiПЖf} одномерно. Действительно, подпространство, натянутое на собственные векторы f и Af для оператора U: Uf = eiПЖf, Uf) = eiПЖ Аf  инвариантно относительно операторов U и А. U и А неприводимы, значит dimНeiПЖ= dimН-eiПЖ=1

Таким образом, все неприводимые пары операторов U и А такие, что (U) = {eiПЖ, e-iПЖПЖ(0, ПА)  в базисе из собственных векторов оператора U имеют вид:

А = ,        U = ,       В =

Теорема 2.2. Неприводимые пары Р1, Р2 ортопроекторов лишь одномер-
ны и двумерны.

Доказательство. Сразу следует из леммы 2.2.


2.2. Спектральная теорема. Пусть Н - сепарабельное гильбертово пространство, тогда справедлива следующая теорема.

Теорема 2.3. (спектральная теорема в форме операторов умножения). Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 ((С2L2((0, ), dПБк)))                (2.4.)

где ПБ1 > ПБ2 >тАж ПБк   меры на интервале (0, ), такое, что имеют место равенства

P1 = P1,0 P1,1 ((Iк ))                                                                (2.5.)

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))                         (2.6.)

Iк - единичный оператор в L2((0, ), dПБк)

Доказательство. Пространство Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных подпространств

Н = Н0,0 Н0,1 Н1,0 Н1,1 НОД, то есть отщепить все одномерные представления от исходного. НОД состоит из инвариантных двумерных подпространств.

Всякому положительному функционалу F в *-алгебре P2 отвечает циклическое представление ПАF *-алгебры P2 в некотором гильбертовом пространстве НF. При этом НF можно реализовать как L2(F), то есть как гильбертово пространство всех функций с интегрируемым квадратом по мере ОјF на Т.

Пусть каждому вектору ОѕН поставим в соответствие подпространство  НОѕ Н, которое получается замыканием множества векторов вида  ПА(х)Оѕ, где хА. Ограничения операторов из ПА(А) на НОѕ является циклическим представлением. Обозначим его через ПАОѕ, а соответствующую меру на Т через ОјОѕ. Введем упорядочение в Н, полагая Оѕ>О·, если ОјОѕ > ОјО· (то есть ОјО· абсолютно непрерывна по мере ОјОѕ).

Если О·НОѕ, то НО·НОѕ, тогда ПАО· - циклическое подпредставление ПАОѕ. Пусть Е Т и ОјОѕ (Е) = 0, тогда ОјО· (Е) = 0, следовательно ОјОѕ > ОјО·, а значит Оѕ>О·.

Множество максимальных векторов всюду плотно в Н. Пусть существует счетное разложение Н = НО·к. Пусть {О¶i} - последовательность, в которой каждый из векторов О·i встречается бесконечное число раз. Определим Оѕк индуктивно, так, чтобы выполнялись условия:

  1. Оѕк+1 - максимальный вектор в (НОѕi)тФґ,
  2. d (О¶к, НОѕi) тЙд .

Тогда разложение Н = НОѕк такое что Оѕк>Оѕк+1 и Ојк>Ојк+1 .

Пусть представления ПАОј в L2(Т, Ој) и ПАОЅ в L2(Т, ОЅ) эквивалентны. Пусть v:L2(Т, Ој) тЖТL2(Т, ОЅ) устанавливающий их эквивалентность изоморфизм. Положим f=1, а=v(f), тогда для любой непрерывной функции g на Т v(g)=vПАОј(g)f = ПАОЅ (g)vf = ПАОЅ (g)a = ga. Так как v - изометрическое отображение, то dОј=|a|2dОЅ. Таким образом мера Ој абсолютно непрерывна по мере ОЅ. Аналогично, рассматривая обратный оператор, получаем, что ОЅ абсолютно непрерывна по Ој, то есть эти меры эквивалентны. Значит существует разложение НОД = (С2L2(Т, Ојк)),  где Ој1>Ој2>тАж и соответствующие этим мерам представления неприводимы и неэквивалентны. Это доказывает равенство (2.4.). Тогда из (2.4.) следуют формулы:

P1 = P1,0 P1,1 ((Iк ))                                                             

Р2 = P0,1 P1,1 (Iк ))                    

Iк - единичный оператор в L2((0, ), dПБк).

Теорема 2.4. (спектральная теорема в форме разложения единицы).  Паре ортопроекторов Р1 и Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве Н соответствует разложение

Н = Н0,0Н0,1Н1,0 Н1,1 С2Н(ПЖ)dЕ(ПЖ)                              (2.7.)

в прямой интеграл инвариантных относительно Р1, Р2 подпространств и определенное на Т = (0, ) разложение dЕ(ПЖ) единичного оператора I+=E(0, ) в Н+ =С2Н(ПЖ)dЕ(ПЖ), такое что имеет место равенство

P1 = P1,0 P1,1 I+                                                                            (2.8.)

Р2 = P0,1 P1,1 dЕ(ПЖ)               (2.9.)

Доказательство. Всякий самосопряженный оператор А, действующий в Н, изометрически изоморфен оператору умножения на независимую переменную в пространстве L2(R, dПБк), где ПБк зависит от разложения единицы оператора А. Тогда доказательство спектральной теоремы в форме разложения единицы следует непосредственно из спектральной теоремы в форме операторов умножения.

Глава III. Спектр суммы двух ортопроекторов

Вз1. Спектр суммы двух ортопроекторов в унитарном пространстве

1.1. Спектр ортопроектора в гильбертовом пространстве.

Теорема 1.1. Пусть Н - гильбертово пространство. Если Р - ортопроектор, то (Р) = р (Р) = {0, 1}, где р (Р) - точечный спектр при условии, что Р тЙа 0 и Р тЙа I.

Доказательство. Рассмотрим выражение  Рх - О»х = y,     х, y Н, О» С. Тогда (1 - О») Рх = Рy . Если О» тЙа 1, то Рх = Рy. Если х тЙа 1, то х(Рy - y), тогда (Р) = {0, 1}.

Так как Р тЙа 0 и Р тЙа I, то существует х тЙа 0 такой, что Рх тЙа 0. Тогда Р(Рх) = Рх, то есть 1р (Р). Существует y тЙа 0: (I - Р)y тЙа 0, тогда Р(I - Р)y = 0 = 0 В· (I - Р)y, то есть 0 р (Р). Итак, (Р) = р (Р) = {0, 1}.


1.2. Постановка задачи. Пусть заданы два ортопроектора Р1 и Р2 в унитарном пространстве Н. Тогда мы знаем спектр каждого из них. Найдем спектр суммы Р1 + Р2  в неприводимых представлениях.


1.3. Спектр в одномерном пространстве. Пусть dimH =1. Пусть, как и выше, Нк - область значений оператора Рк  к = 1,2. Обозначим через А = Р1 + Р2 и найдем (А).

1) Р1 = Р2 = 0, то для любого х Н   Ах = 0 или Ах = 0 В· х, то есть 0 (А).

2) Р1 = 0, Р2 = I, то для любого х Н2 = Н   Ах = х, то есть 1 (А).

3) Р1 = I, Р2 = 0, то для любого х Н1 = Н   Ах = х.

4) Р1 =  Р2 = I, то для любого х Н1 = Н2 = Н   Ах = Р1х + Р2х = 2х, то есть 2  (А).

Таким образом, если dimH =1, то (А) {0, 1, 2}.


1.4. Спектр в двумерном пространстве. Пусть dimH =2. Сохраним обозначения (1.1.) Главы II.

1) х Н0,0 , тогда Ах = 0 и 0 (А).

2) х Н0,1 или х Н1,0  , тогда Ах = х и 1 (А).

3) х Н1,1, тогда Ах = 2х, то есть 2  (А).

Если существуют i, j= 0,1 такие, что Нi,j тЙа {0}, то существуют k,l = 0,1 такие, что Нi,j Нk,l = H. В этом случае (А) {0, 1, 2}.

Пусть теперь Нk,l = {0} для любых k,l = 0,1. Допустим, что существует одномерное инвариантное подпространство L относительно Р1 и Р2, тогда АLL. Пусть х L, тогда Рkх = О»кх    (k = 1, 2 ). Так как Рk ортопроектор, то возможны случаи:

  1. О»1 = 0, О»2 = 0;
  2. О»1 = 0, О»2 = 1;
  3. О»1 = 1, О»2 = 0;
  4. О»1 = 1, О»2 = 1;

Но это означает, что k,l = 0,1 такие, что Нk,l тЙа {0} вопреки предположению. Тогда пара Р1, Р2 неприводима. Значит мы можем записать матрицы операторов Р1 и Р2 в некотором ортонормированном базисе, согласно теореме 1.1. главы II.

Р1 = ,   Р2       ПД (0, 1)

Найдем спектр линейной комбинации ортопроекторов aР1 + bР2, a и b С. Для этого решим характеристическое уравнение det(aР1 + bР2 - О»I) = 0.

                                                                              (1.1.)

Тогда ,              (1.2)

Положим a = 1, b =1, Оµ = , тогда О»1 = 1+Оµ , О»2 = 1-Оµ и 0<Оµ<1 (поскольку 0<ПД<1.

Тогда (А) {0, 1, 2}{1+Оµ , 1-Оµ}. Причем собственные значения 1+Оµ и 1-Оµ входят в спектр А одновременно.


1.5. Спектр в n-мерном пространстве. Пусть dimH =n. Если Н =КL, где К, L инвариантные подпространства относительно оператора А, то для любого х Н существует единственное разложение x = k +l, k K, l L. Пусть О» (А), тогда Ах = О»х =О»k +О»l;, следовательно, если пространство Н разложено в ортогональную сумму инвариантных подпространств, то спектр оператора А можно найти как объединение спектров сужений оператора А на соответствующие инвариантные подпространства.

Используя лемму 1.2. главы II, представим Н в виде ортогональной суммы подпространств Н0 = Н0,0Н1=Н0,1Н1,0, Н2=Н1,1 и двумерных, инвариантных относительно А, подпространств НПЖк   ПЖк (0, ), (к = 1,тАж, s). При этом операторы Р1 и Р2 неприводимы в НПЖк (к = 1,тАж, s), и собственные значения 1+Оµк, 1-Оµк входят одновременно в спектр А. Так как А*=А, то соответствующие собственные векторы ортогональны. Тогда имеет место разложение на собственные подпространства

НПЖк = Н1+Оµк Н1-Оµк  ,  причем dimН1+Оµк = dimН1-Оµк  = 1                             (1.3)

Если ПЖк тЙа ПЖi, то Оµк тЙа Оµi (так как Оµк = =cosПЖк и ПЖк (0, )). Объединим все НПЖк , у которых одинаковые ПЖк , в одно слагаемое, и обозначим его через НПЖк. При этом, если dimНПЖк = 2qk, то есть НПЖк состоит из qk экземпляров двумерных подпространств, отвечающих одному ПЖк , то объединяя вместе все соответствующие одномерные собственные подпространства, получим НПЖк = Н1+Оµк Н1-Оµк  ,  dimН1+Оµк = dimН1-Оµк  = qk.

Теорема 1.2. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 и Р2  тогда и только тогда, когда

(А) {0, 1, 2}({1+Оµ , 1-Оµ}),  0<Оµк<1,

причем dimН1+Оµк = dimН1-Оµк  к = 1,тАж, m.

Доказательство. Пусть А = Р1 и Р2, тогда его спектр был найден выше:

(А) {0, 1, 2}({1+Оµ , 1-Оµ}),  где 0<Оµк<1для любого к = 1,тАж, m.

Обратно, пусть нам известен спектр оператора А и известно, что размерности соответствующих собственных подпространств совпадают, то есть

dimН1+Оµк = dimН1-Оµк  . Существует единственное разложение Н в ортогональную сумму инвариантных подпространств ((1.1.) Глава II):

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2Нк))                                                           (1.4.)

(1.4.) можно записать иначе 

Н = Н(0) Н(1) Н(2) ((С2(Н1+Оµк Н1-Оµк  )))                                     (1.5.)

Зададим ортопроекторы Р1 и Р2 следующим образом 

P1 = PН2((Iк ))                                                                               (1.6.)

Р2 = PН1 PН2 ( Iк ))                         (1.7.)

где PНк - ортопроектор в Н на Н(к) (к = 1, 2), Is - единичный оператор в Hs s=1,тАж, m. Но тогда 

Р1 + Р2 = PН1 PН2 ( Iк )) = А, при этом А = А*


1.6. Линейная комбинация ортопроекторов. Пусть теперь с. Из (1.2.) следует О»1 +  О»2a + b. Пусть О»2 = Оµ, тогда О»1a + b - Оµ.

Оценим Оµ. Заметим, что (a +b)2 - 4ab(1-ПД) = (a - b)2 + 4abПД > 0.

Тогда Оµ = > = 0, то есть Оµ = 0.

Допустим, что Оµ тЙе a , тогда

a тЙд

тЙд b - a

(b - a)2 +4abПД тЙд (b - a)2

abПД тЙд 0, но abПД > 0 и значит Оµ < a

Итак,

О»1Оµ

О»2 = a + b - Оµ.                                                                                  (1.8.)

0 < Оµ < a

Пусть dimH =n. Тогда справедлива теорема.

Теорема 1.3. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации ортопроекоров А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда

(А) {0, a, b, a + b}({Оµк , a + b - Оµк}),  0<Оµк<1, и

dimНОµк = dimНa+b-Оµк  (НОµк , Нa+b-Оµк  - собственные подпространства оператора А, отвечающие Оµк) к=1,тАжm.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2, 0<a<b. Найдем (А).

1) х Н0,0, то Ах = 0 и 0);

2) х Н0,1 , то Ах = bx и b(А);

3) х Н1,0 , то Ах = ax и a(А);

4) х Н1,1 , то Ах = (a+b)x и a+b(А).

Тогда (А) {0, a, b, a + b}({Оµк , a + b - Оµк}), где 0<Оµк<1, к=1,тАжm. Причем числа Оµк, a + b - Оµк входят одновременно в спектр А, и соответству-
ющие собственные подпространства ортогональны и одномерны, так как А=А*. Тогда сумма всех собственных подпространств, отвечающих одному Оµк также инвариантна относительно А и dimНОµк = dimНa+b-Оµк = qk. (с учетом кратности Оµк)

Обратно. Существует единственное разложение Н в силу (1.4.)

Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((С2Нк))                                 (1.9.)

Где Н(0)=Н0,0 , Н(a) 1,0 , Н(b)0,1 , Н(a+b)1,1 или

Н = Н(0) Н(a) Н(b)Н(a+b) ((НОµк Нa+b-Оµк)                                  (1.10.)

Положим

P1 = PaPa+b ((Iк ))                                                                  (1.11.)

Р2 = Pb Pa+b ( Iк ))                       (1.12.)

Но тогда

aР1 + bР2 = aPabPb (а+b)Pa+b (a(Iк ))

(bIк )) = A.

Спектр оператора А совпадает с {0, a, b, a + b}({Оµк , a + b - Оµк}), (0<Оµк<1, к=1,тАжm) по построению и А = А* как вещественная комбинация ортопроекторов.

Вз 2. Спектр суммы двух ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве

2.1. Спектр оператора А = Р1 + Р2. Изучим оператор Р1 + Р2 в сепарабельном гильбертовом пространстве.

Теорема 2.1. Самосопряженный оператор А представим в виде суммы двух ортопроекторов А = Р1 + Р2 тогда и только тогда, когда (А) = [0, 2] и пространство Н можно разложить в ортогональную сумму инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2((0, ), dПБк)))                                          (2.1.)

и меры ПБк инвариантны относительно преобразования 1+х тЖТ 1-х.

Доказательство. Пусть А = Р1 + Р2Н0=Н0,0 , Н11,0Н0,1 , Н21,1

Поставим в соответствие ПЖтЖТОµ cosПЖ, где ПЖ (0, ). Тогда, как было найдено выше, спектр (А) [0, 2] и Н можно разложить (опираясь на спектральную теореме 2.3. главы II) в ортогональную сумму (2.1.)

Н = Н0 Н1 Н2 ((С2L2((0, 2), dПБк)))

Поскольку собственные подпространства, соответствующие собственным значениям А 1+Оµ , 1-Оµ,  0<Оµ<1 входят одновременно в спектр и их значения совпадают, то каждая мера ПБк (к = 1, 2, тАж) должна быть инвариантной относительно преобразования 1 + х тЖТ 1- х.

Обратно. Пусть имеет место (2.1.) и (А) [0, 2]. Тогда зададим ортопроекторы Р1ОД Р2ОД равенствами

Р1ОД = P1P2((Iк ))              

Р2ОД = P2 ( Iк ))

где Pi: НтЖТНi (i = 0, 1, 2) ортопроектор, Ik - единичный оператор в L2((0, 2), dПБк)). Тогда А =Р1ОД + Р2ОД  - самосопряженный оператор, спектр которого содержится в [0, 2], так как РкОД (к = 1, 2) является суммой ортопроекторов на взаимно ортогональные пространства.


2.2. Спектр линейной комбинации А = aР1 + bР2 (0<a<b). Рассмотрим теперь случай, когда А = aР1 + bР2 (0<a<b).

Теорема 2.2. Самосопряженный оператор А представим в виде линейной комбинации двух ортопроекторов А = aР1 + bР2, 0<a<b тогда и только тогда, когда (А) [0, a] [b, a+b] и Н можно представить в виде ортогональной суммы инвариантных относительно А пространств

Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dПБк))))           (2.2.)

и меры ПБк инвариантны относительно преобразования хтЖТa+b.

Доказательство. Пусть А = aР1 + bР2 (0<a<b). Пусть Н0=Н0,0, На=Н0,1, Нb=Н1,0 , Нa+b=Н1,1. Так как (А) [0, a] [b, a+b] и собственные подпространства, отвечающие собственным значениям оператора А входят в Н одновременно (причем их размерности совпадают) то аналогично теореме 2.1. получаем

Н = Н0 Нa НbНa+b ((С2L2([0, a] [b, a+b], dПБк))))

где меры ПБк (к = 1, 2, тАж) инвариантны относительно преобразования х тЖТ a+b.

Обратно, пусть (А) [0, a] [b, a+b] и имеется разложение Н (2.2.). Тогда зададим Р1 и Р2  следующим образом

P1 = PaPa+b ((Iк ))              

Р2 = Pb Pa+b ( Iк ))

где РО±: НтЖТНО± , О± = a, b, a+b - ортопроекторы, Iк - единичный оператор в L2([0,a] [b, a+b]). Тогда

А = aР1 + bР2 = aР1 bР2(a+b)Pa+b ((Iк ))

( Iк ))

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В дипломной работе изучена пара ортопроекторов в сепарабельном гильбертовом пространстве Н, приведено описание всех неприводимых и неэквивалентные *-представления *-алгебры P2 .

P= С <p1, p2 | pк2 = pк* =pк>.

А именно: 4 одномерных  ПА0,0(p1) = 0, ПА0,0(p2) = 0; ПА0,1(p1) = 0, ПА0,1(p2) = 1; ПА1,0(p1) = 1, ПА1,0(p2) = 0; ПА1,1(p1) = 1, ПА1,1(p2) = 1.

И двумерные:     ,         ПД (0, 1)

Изучен спектр операторов Р1 + Р2, aР1 + bР2 (0<a<b), а также необходимые и достаточные условия представимости самосопряженного оператора А в виде А = Р1 + Р2 и А = aР1 + bР2 (0<a<b).

ЛИТЕРАТУРА

  1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве, М., Наука, 1966.
  2. Березенский Ю.М., Ус Г.Ф., Шефтель З.Г. Функциональный анализ, К., Выща школа, 1990.
  3. Браттели У., Робинсон Д. Операторные алгебры и квантовая статистическая механика: С*- W* -алгебры. Группы симметрий. Разложение состояний., М., Мир, 1982.
  4. Диксмье Ж. С*-алгебры и их представления. М., Наука, 1974.
  5. Кириллов А.А. Элементы теории представлений. М., Наука, 1978.
  6. Кужель А.В. Алгебры конечного ранга, С. СГУ, 1979.
  7. Ленг С. Алгебра. М., Мир, 1968.
  8. Мерфи Д. С*-алгебры и теория операторов. М., Мир, 1998.
  9. Наймарк М.А. Нормированные кольца. М., Гостехиздат, 1956.
  10. Рудин У. Функциональный анализ. М., Мир, 1975.
  11. NishioK, Linear algebra and its applications 66: 169-176, Elsevier Science Publishing Co., Inc., 1985.
  12. Samoilenko Y.S., Representation theory of algebras, Springer, 1998.
Страницы: Назад 1 Вперед