ВАРИАНТ ПОДХОДА К МОДЕЛИРОВАНИЮ ЛИНЕЙНОЙ УПРУГОЙ СРЕДЫ

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 284-296 Механика
УДК 539.3
Вариант подхода к моделированию
и и _ и ^
линеинои упругой среды *
Л. Ю. Фроленкова, В. С. Шоркин, С. И. Якушина
Аннотация. Предлагается вариант подхода к моделированию линейно упругой среды, опирающийся на следующие положения. В зависимости от решаемой проблемы бесконечно малая частица среды рассматривается как сфера, гантель или диполь. В качестве характеристик ее термодинамического состояния используются температура и бесконечная последовательность градиентов возрастающих порядков вектора перемещений и (или) угла поворота частицы, обрываемая на необходимом элементе. Изменение свободной энергии частицы при переходе ее в текущее состояние задается полиномом второй степени от изменений характеристик термодинамического состояния. Его коэффициенты определяются путем дифференцирования известного выражения свободной энергии, вид которого заранее постулируется на основании анализа условия решаемой задачи.
Ключевые слова: нелокальное многочастичное взаимодействие, градиентная среда, поверхностная энергия, энергия и сила адгезии и когезии.
О Леониде Александровиче Толоконникове
Мне, В.С. Шоркину, посчастливилось быть аспирантом Леонида Александровича в период с 1971 по 1974 г.г.. Специальность в аспирантуре была связана со строительной механикой. Однако за этот период мною была подготовлена и защищена в 1974 году диссертация по специальности 01.02.05. Механика жидкости, газа и плазмы. Более того, тема была связана с микрополярной теорией жидкостей, в то время модной и одновременно скандальной. Несмотря на то, что Леонид Александрович являлся механиком, то есть ученым, который (по его выражению) рассматривает динамические процессы прежде всего с точки зрения законов Ньютона, то произошедшее кажется странным, особенно в современных условиях, когда каждый шаг аспиранта прописан в его индивидуальном плане и строго контролируется.
* Работа выполнена в рамках Государственного задания № 2.479.2011.
На самом деле странного в этом ничего нет. Еще будучи студентом я занимался изучением движения и взаимодействия вихрей в вязкой жидкости. Одним из вариантов объяснения их появления и развития мог стать вариант, основанный именно на микрополярной модели жидкой среды, поскольку использует понятие внутренних распределенных по её объему моментов. Леонид Александрович понимал это и не только не мешал, но и всячески помогал процессу исследований. Но контроль за ходом процесса и помощь оказывались опять не «по-современному». Не было ни устных публичных отчетов, ни письменных о выполнении плана. Были при встречах (не только на кафедре) заданные невзначай вопросы: «Как дела?», «Что грустный?» или что-то подобное. Помощь осуществлялась (если сам не просил) советом. Например, словами «нужен эксперимент», а если принес «эксперимент», то «да разве это эксперимент?» При этом я прекрасно понимал, что я должен делать после этих слов. Если же я чувствовал сам, что мне нужна помощь, и просил ее, то назначалась специальная встреча, разговор шел обязательно с помощью доски, мела и тряпки, иногда в присутствии кого-либо ещё, втягиваемого в беседу. Этот разговор велся обычно в форме спора, размышления вслух. Никогда не следовало безапелляционного решения проблемы, появлялись лишь возможные варианты ее решения, которые я должен был рассмотреть самостоятельно.
Необходимо отметить, что Леонид Александрович в беседах был не многословен. Его взгляд, особенно в критических ситуациях, был да и сейчас остается на много красноречивее самых длинных и самых эмоциональных речей.
Если продолжить о несоответствии темы моей диссертации и специальности, по которой я поступил в аспирантуру, то необходимо сказать, что защищался я именно по механике жидкостей, и эту проблему решал уже не я, а Леонид Александрович, и не полезными советами мне, а сам.
Такая «методика» подготовки аспиранта не с помощью канцелярских или чиновничьих приемов, а с помощью обычных человеческих, равноправных взаимоотношений давала такие плоды, которые известны всей стране.
1. Введение
Для описания свойств материалов, проявляемых в различных условиях, строятся разнообразные модели. В ряде из них предлагается использовать новые константы и параметры. Однако прямые или косвенные эксперименты по их определению провести трудно, вычислить с использованием методов теоретической физики из-за сложности состава и структуры практически невозможно. В данной работе предложен вариант подхода к моделированию упругой среды, который в некоторых случаях позволяет эту проблему решить. Он дает возможность вычислить неизвестные характеристики среды через известные ее характеристики.
2. Модель градиентной линейно упругой изотропной среды
2.1. Деформированное состояние. Рассматривается упругое тело В. Отсчетным для него считается то состояние, которым оно обладает в составе бесконечно протяженного среды О того же материала, в отсутствии внешних воздействий и внутренних деформаций, при температуре Т = То и нулевой энтропии 5 = 50 = 0. Выделение В из О мгновенно, изотермично, обратимо, в момент времени = 0. Местом В является область V = V(), V(0 — 0) = V, с границей Аь = А(), А(0 — 0) = А, п и щ = п(), п(0 — 0) = п — ее нормаль.
Пусть (1В — произвольная частица тела В; (IV и ё,Уь = dVt) — ее места при = 0 и > 0; г = ёп хп и К = ёпХп = К (г, ) = г + и(г, ) — радиус-векторы их геометрических центров инерции; и = и (г, ) = ^ёП — вектор перемещения центра инерции из г в К; ёп, п = 1, 2, 3 — ортонормированный базис.
Известно, что сплошное твердое тело является деформируемым, если под влиянием внешних воздействий меняется расстояние хотя бы между двумя его точками. Точки, расстояние между которыми оценивается в любой момент времени, являются любой парой точек К и К\ множества V = V(). Расстояние между ними
L
1 —
— |(r1 — r) + Ди|
может быть вычислено, если в точке г известны элементы последовательности {Ути}, являющиеся градиентами возрастающих порядков вектора перемещений, и если сходится абсолютно и равномерно ряд
го 1 m
Ди — u(r2) — u(r) — ^ —! (Vmu)r=0l = li2 = Г2 — ri. (1)
—.
m=1
Требование сходимости ряда (1) накладывает ограничения на нормы элементов последовательности {Vmu}. Эти ограничения таковы, что
“V — -И, d —
Плотность материала р — const.
Совокупность элементов {Vmu} является множеством характеристик деформированного состояния материала частицы dB. Форма частицы при их определении не учитывается.
2.2. Напряженное состояние. Элементы последовательности {Vmu} являются обобщенными перемещениями частицы dB. Каждому из них соответствует тензор P(m), являющийся обобщенной силой. При этом выражение 5W — J [P(1) • -5 (Vu) + P(2) • -5 (V2u) + ...] dV является
V
вариацией 5W суммарной их работы W. Вместе с вариацией кинетической
энергии 5 К = 5 2 р? она составляет вариацию механической
энергии тела В [1]: 5Т = 5К + 5Ш. С учетом этого можно получить
5Т = /И? — Г —у'(р (1) — У'(Р (2) — -))
У
А

+
+ / ^ (Р (1) — (Р (2) — "0) — УА^ И(2) — -.)] 5 (упи) dA+
+ 1 п (Р(2) — У^ (V(3) — — Уа^ (п Р(3) — ...) 5 (Упи) dA + ...
А
Вариации перемещений 5и внутренних точек области V: г € V, вариации перемещений 5и граничной поверхности: г € А и их градиентов 5 (Упш) по нормали к ней, определенных в тех же точках г € А, и т.д., не равны нулю, произвольны и независимы друг от друга. С учетом этого и закона сохранения энергии в отсутствии притока 5Q тепла Q к телу В выражение для вариации работы внешних сил приобретает вид [2, 3]:
50 = У / 5шIV + J П(0) 5ш!А+ У П(1) 5 (Упи) с!А + ...,
где / — объемная плотность внешних сил; П(0) = а — поверхностная плотность внешних сил; П(1) = N — поверхностная плотность внешних неклассических воздействий, называемых гиперсилами [4].
С учетом этого получаем систему уравнений
У
—У
Р(2)- у (р(3) - ...)]} + / =
г € V,
(2)
/п
Р(1) — У Р(2) — . . .
— УА
/п
Р(2) — ..Л! =П(0) = а; г € А, (3)
/п
Р(2) — У Р(3) — . . .
— УА
/п
(Р(3) — ...) =П(1) = N; г € А.
(4)
Уравнение (2) является дифференциальной формой закона сохранения импульса [4]. Уравнения (3) и (4) являются краевыми условиями для уравнения (2). В момент времени = 0 задаем начальные условия: распределения перемещений и скоростей частиц тела В в области V.
Заметим, что для выполнения закона сохранения момента импульса необходима симметрия тензора Р (см. (2)) Р = Р(1) — У (Р(2) — У (Р(3) — ...)),
вытекающая из условия инвариантности работы внутренних сил по отношению к жестким поворотам тела В [5, 6].
2.3. Второе начало термодинамики. Определяющие соотношения.
Для получения выражений, связывающих градиенты перемещений, температуру, энтропию и свободную энергию Т единицы объема принято, что: Т = Т (V и, У2и, У3Й,... ,Т). При этом изменение Т является полным дифференциалом:
(№ = -Б(1Т + Р(1) й (Vu)T + Р(2) й (V2 и)Т + ...,
где s = — — I P(n) = ____—_____
где S 3T\T=T0, Vm«=Q,m=l,. . . , P 3(Vmu)
, n =
T=To, VmU=Q,m=1,. . .
= 1,...
Допускается, что изменения температуры 0 = T — Tq малы: | Ц | ^ 1-Для функции F = F (T, Vu, V2u,...) используется квадратичное приближение
AF = F (T, Vu, V2 u,...) — F (Tq, 0,0,...) =
= dF (Tq, 0, 0,...) ^ dF (Tq, 0, 0,...) Ач (VnU)T +
dT 0 + ^ d(Vnu) ... (V u) +
n=1
+1 y- (Vmu)d2F(T>'(V'af + 1d2F<TQ-°-0----)02+
+ 2 2^ (V u) d (Vmu) d (Vu) " (V ’ +2 dT2 0 +
m,n=1
1 + 2
У 0 d 2F (TQ, 0 0,...) A (Vnu)T + f (Vmu) ^ d 2 F (TQ, 0, 0,...) 0 ^ 0 dTd (V'nu) ... (V u) + ^(V u) ... d (Vmu) dT
m,n=1 n=1
где дТ (То, 0,0,... )/дТ = -5 (То, 0,0,...) = 50 = 0.
Оказывается, что тензоры внутренних напряжений и энтропия связаны со свободной энергией тела, его деформациями с и температурой соотношениями
го т
Р(п) = Р0(п) - в(п)0 + ^ ^т«) ^с(тп), (5)
т=1 го т
5 = у ^тй) Ов(т) + се 0,
т=1 То
где се — теплоемкость при отсутствии деформации.
Параметры термоупругого состояния определяются выражениями
р 0(п) = дР (Т0, ° 0,••• ) с (т,п) = д2р (То’ ° 0,••• )
д (Упи) ’ д (УтЙ) д (Упи)
В(п) = - д 2Р (То, 0, О,^) = дР0(п)
дТд (Упи)
дТ
Т=То
дР(п) д 0
Можно получить уравнение притока тепла
й0
Л..(у2 0 _ с - - ТоЕ
й (Ути)
т=1
йі
Система уравнений для и и 0 имеет вид
т=1
(УтЙ) с (тД) - V-
(Ути)С(т’2) - •••
+V• (р0(1) -V - (р0(2) - • ••)) + / =
д2и р0 + V
В(1)0 -V - ІЇВ(2)0^ - •••
+
д0
д (Vmu)
ді
в(т) = -Л
А' '^2 0 - С' ж - То
т=1
2.4. Зависимость свободной энергии от характеристик термодинамического состояния. Считается, что свободная энергия определяется суммой потенциальной энергии и кинетической энергии фононного газа. Для металлов к этой сумме добавляется энергия электронного газа [5].
Пусть В'1, Ве, В/ — сплошные среды, моделирующие распределенные по объему V, занимаемому телом В, ионы, электроны, фононы. Их элементарные части имеют один и тот же объем dV = йУг = йVе = йУ? с одинаковым геометрическим центром инерции г = гг = Vе = г ? .В отсчетном состоянии, как для металлов, так и для неметаллов частица йВг = йВг и йВе электрически нейтральна. Вместе с йВ? она образует йВ = йВг и йВ?.
При деформации справедливо равенство Кг = Ке = К?; относительные изменения объемов йВг, йВе, йВ? и (V«) — след градиента общего вектора перемещений, равны между собой. В этом случае достаточно рассматривать перемещения и деформации частиц йВг = йВг и йВе. При этом
т
ОО
т
т
т
О
w = wr + we + wf, „ _ = Р(т) = Рг(т) + Ре(т) + Р/(т), (6)
д (Vmu)
где ,шг — плотность изменения свободной энергии среды, моделирующей ионную решетку; -ше — плотность изменения свободной энергии электронного газа без учета его взаимодействия с ионами; — плотность изменения свободной энергии фононного газа.
Для идеальных газов электронов и фононов тензор внутренних напряжений определяется только внутренними давлениями ре и р^ соответственно [6]. Из-за малости деформаций эти величины не зависят от них и распределены равномерно по всему объему. Таким образом,
и)п = рп 1г (Уи), Рп(1) = Рп0(1) = (ё*,^) рп, Рп(т) =0, т> 1, п = е,
При этом величина равна разности (г) плотностей
распределения потенциальной энергии в текущей и отсчетной конфигурациях соответственно.
Для частицы йБг допускается ее потенциальное взаимодействие с другими аналогичными ей частицами [7]. Идея о потенциальном взаимодействии частиц сплошной среды является аналогом идеи, используемой методом динамики частиц [8, 9]. Считается, что это взаимодействие может быть не только парным, как это обычно принимается в физике твердого тела [10], но и тройным. Таким образом, допускается, что
у
ф(2) (К, К1) +/ з! ф(3) (К, К1, К2) ^2
У
йУъ
(7)
где Ф(2) {^К,, К^ йУйУ2, Ф(3) (^Я, К1, К2) йУйУ2йУ2 — потенциалы
взаимодействия частиц йУ и йУ1 (парное), йУ и йУ1 и йУ2 (тройное). При К = г из (7) получается выражение для (г).
Считая, что изменение потенциалов Ф(2) и Ф(3) зависит от относительного смещения взаимодействующих частиц: ДЙ1 = К1 — К — для Ф(2), ДЙ1 и ДЙ2 = К2 — К — для Ф(3), используя для этих зависимостей только квадратичные приближения, можно получить
ш =2!
! I (У1Ф(2)) ДиТ + ^ДЙ1 (у2Ф(2)) ДЙ
йУ1 +
У
Можно построить выражения для тензоров ^(утд) по форме с (5), в котором 0 = 0 и
_ рг(т)
, совпадающее
рг0(т) = ^ / т (Уіф(20 ^ 4 Е / / (у«ф(3))^
V а—1 V
С^(п,т) 1 I 1 (* I п2л(2) \ (Ш,
2! у т!п!
V
1* (у1ф(2)) (Ш^уі+
Р,9=1 V
2
+3т Е / / ткт5 (улф(3))^
.V
^2-
С учетом (6) получаем: Р0(т) = Рг0(т) + Ре0(т) + Р/0(т), С(га’т) =
_ Сг(п,т)
Использование изложенного позволяет получить выражение классической матрицы характеристик упругого состояния [11] в виде [12].
Сопоставляя ее с аналогичной матрицей в [11], можно убедиться в справедливости равенств
п 4
V = (П + Х)/3, А = (п + Х)/3 + ^ 2^ + Л = п + X + , П =272! 5 ,
п „ 4 16п2„
Х _22“ЗТ11' 5 ' 5 _29“ЗТ=12' а = |о1' Ь =
11
_ 4п
СО СО
/12,і2112 ^ ф д 2і1’ 1 2), 1
д2Ф(3) (11,І2)
12 _
СО СО
I № / 12 д2Ф(3) (1 ’ '2) *
д І ід І2

о
3 _ IІ4 ,2 ф(2) (Іі) ,11-
Видно, что при учете только парного взаимодействия для любой среды коэффициент Пуассона равен 0,25 [12]. Этот результат служит обоснованием необходимости учета тройного потенциального взаимодействия.
Для определения В(п) можно записать выражение
-B(n) =
др °(n) дТ
т=То
др r°(n)
дТ
+ -
т=то
др e°(n)
дТ
+
т=то
др / °(n) дТ
т=то
дрг0(т) дРг0(т) 310 дРг0(т)
дТ = 310 дТ =ат 310 1°'
Второе и третье слагаемые вычисляются непосредственным дифференцированием известных зависимостей [6]:
2ПеЦ.°
5 /пкТ\2 12 (
P e°(n) =0, n> 1;
xD 3
9nk9Dj f x3dx
xD = -^7, P/°(n) =0, n > 1,
xd
ex - 1 ’
где пе — число свободных электронов в единице объема; к — постоянная Больцмана; ^0 — энергия Ферми; п — число атомов в единице объема; 7 — постоянная Грюнайзена; во — температура Дебая.
Таким образом, все характеристики материала, описываемые тензорами Р0(п), В(п), С(т,п) могут быть вычислены, если известны потенциалы Ф(2) и Ф(3), их зависимости от температуры. Способы определения потенциалов предложены в работах [13, 14].
3. Микрополярная теория упругости поляризованного
диэлектрика
Механическое воздействие на поляризованный диэлектрик может вести к изменению преимущественной ориентации его частиц. Полярный диэлектрик помещен в однородное электростатическое поле с напряженностью Е = eE, |e| = 1. Вектор поляризации P единицы объема диэлектрика пропорционален напряженности E, вызвавшей ее: P = є°кеЕ (є° — электрическая постоянная; ке — поляризуемость единицы объема).
Считается, что все частицы dB являются диполями — гантелями с разноименными зарядами на концах. Они имеют один и тот же вектор поляризации PdV = (є°кеЕ)edV = xedV. Под действием внешних механических воздействий частицы dB = dB\ и dB = dB2 меняют свое относительное положение и ориентацию. Относительное положение в новом состоянии (помечено индексом (*)) характеризуется вектором вместо 1\2 —
вектора их относительного положения в отсчетном состоянии. Вращательная реакция частицы на внешние воздействия характеризуется ее поворотом относительно ее начального положения на угол р = tpj, а также группы частиц на угол rot и = V х и.
5
Полагается, что свободная энергия равна энергии упругих деформаций из двух слагаемых. Первое — это энергия, возникшая при поступательных относительных смещениях. Второе возникает из-за относительных поворотов. Именно оно и рассматривается далее. Взаимодействие реальной пары диполей описывается потенциалом Штокмайера [15]
где е, а — параметры потенциала Ленарда-Джонса [16]; ц1, ц2 — величины дипольных моментов взаимодействующих частиц; г — расстояние между их центрами масс; ф = ф1 — ф2; 01, 02, ф1, ф1 — углы векторов ц1, Ц2 дипольных моментов в сферической системе координат с осью, ориентированной от первой частицы ко второй, проходящей через их центры масс.
В текущем состоянии для потенциальной энергии относительных поворотов можно получить выражение
Далее допускается: Рт = Рт = Р, = йУт, т = 1, 2, 1^2 = 112.
В свою очередь:
ер = ёр + Аёр = ёр + фр х ёр, р = 1, 2, 12, ё1 = ё2 = ё.
Пусть г — радиус-вектор произвольной точки области, занимаемой средой О. Тогда в отсчетном состоянии центры масс частиц йВ1 и <1В2 относительно этой точки имеют радиус-векторы 1т = гт — г. При переходе в текущее состояние это выражение приобретает вид:
где и — перемещение точки с соответствующим радиус-вектором.
По отношению к внешнему электрическому полю E = const в процессе деформации среда может осуществлять жесткий поворот, характеризуемый
Под влиянием механических воздействий меняется ориентация не только диполей йВ1 и йВ2, но и частицы йВ, имеющей центр масс в точке г. Поэтому для этой частицы вводится в рассмотрение угол ф поворота ее диполя. В отсчетном состоянии все частицы имеют один и тот же вектор ориентации ё. В текущем состоянии их векторы ориентации разные. Так что можно говорить о функции ф = ф (Г) и о представлении
g (0i, ©2, ф) = 2 cos ©1 cos 02 — sin ©i sin 02 cos ф,
F *dV1*d'
g(^,e2,^2),
lm = Kn — Г* =lm + AU (r) , Aitm (r) = U(r + lm) — U (r) ,
вектором 2 (V x и) = 2 rot и. Это означает, что ф 12 = \ rot и.
фm = ф+Е (v^) •••• -im •
п=1
В дальнейших рассуждениях ограничиваемся представлением
фm = ф + (Vф) 1т-
Для того, чтобы узнать вращательную часть объемной плотности энергии упругих деформаций, необходимо вычислить сумму парных вращательных взаимодействий всех частиц В1 и В2, расположенных в единичном объеме. Интегрирование приводит к выражению
ф — 1 (V Х U)
в1
1 '
ф — 1 (V Х U)
+ ^ф) ^22 (Vф)
в11 ~ 1,1-10 1ео(к^/е)Е 2 [ (Щ + (Щ]
СО
^22 ~ 1, 3 10 30(к2/)Е^Щ — (Щ Щ — (Щ] ,
где i, j — единичные векторы ортонормированного базиса (i, j, k) прямоугольной декартовой системы координат, третий вектор которого k совпадает с вектором e.
По данным [17] значения рабочей напряженности электрического поля в конденсаторах с оксидным диэлектриком имеет порядок кВ/мм, то есть 106В/м. При этом е ~ 40. С учетом этих данных оказывается, что ||ви|| ~
W 39Дж/м3, ||в221 ~ 0,46Дж/м (||вкк|| = {(вкк)j(вкк)j]2 — норма тензора вкк, k = 1, 2).
Заключение
Предложенный в работе метод моделирования поведения упругих сред, основанный на получении явного вида зависимости свободной энергии от характеристик термодинамического состояния среды позволяет расширить возможности количественного описания неклассического поведения упругих сред, сократить объем экспериментальных исследований по определению параметров, характеризующих свойства материалов.
Список литературы
1. Белов П.А., Лурье С.А. Теория сред с сохраняющимися дислокациями. Частные случаи: Среды Коссера и Аэро-Кувшинского, пористые среды, среды с «двойникованием» // Современные проблемы механики гетерогенных сред. ИПРИМ РАН. 2006. Вып. 1. С. 235-267.
2. Shorkin V., Gordon V. Theory of the elastity of the materials of the second order // High Performance Structures and Materials III. Wessex Institute of Technology, UK. Southampton, Boston. WIT PRESS. 2006. Р. 581-589.
3. Бердичевский В.Л. Вариационные принципы механики сплошной среды. М.: Наука, 1983. 448 с.
4. Тупин Р.А. Теория упругости, учитывающая моментные напряжения // Сб. переводов «Механика». 1965. № 3. С. 113-140.
5. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. М.: Изд-во МГУ, 1999. 328 с.
6. Жирифалько Л. Статистическая физика твердого тела. М.: Мир, 1975. 384 с.
7. Майер Дж., Майер М. Гепперт . Статистическая механика. М.: Мир, 1980. 544 с.
8. Кривцов А.М., Мясников В.П. Моделирование методом динамики частиц изменения внутренней структуры и напряжённого состояния в материале при сильном термическом воздействии // Изв. РАН. МТТ. 2005. № 1. С. 88-103.
9. Кривцов А.М., Мясников В.П. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал ДВО РАН. 2002. Т. 3. № 2. С. 254-276.
10. Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. М.: Мир, 1971. 368 с.
11. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1981. 800 с.
12. Азаров А.С., Шоркин В.С. Учет влияния трехчастичного взаимодействия в сплошной упругой среде на ее механические характеристики // Актуальные проблемы прочности: сб. трудов 47 Международной конференции. Н.-Новгород. 2008. С. 163-165.
13. Шоркин В.С. Нелинейные дисперсионные свойства высокочастотных волн в градиентной теории упругости // Механика твердого тела. 2011. № 6. С. 104-121.
14. Шоркин В.С., Фроленкова Л.Ю., Азаров А.С. Учет влияния тройного взаимодействия частиц среды на поверхностные и адгезионные свойства твердых тел // Материаловедение. 2011. № 2. С. 2-7.
15. Гиршфельдер Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М.: ИЛ, 1961. 931 с.
16. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука, 1978. 792 с.
17. http://www.giricond.ru/production/capasitors/
Фроленкова Лариса Юрьевна (Larafrolenkova@yandex.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра физики, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Шоркин Владимир Сергеевич (VShorkin@yandex.ru), д.ф.-м.н.,
профессор, зав. кафедрой физики, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Якушина Светлана Ивановна (jakushina@rambler.ru), старший
преподаватель, кафедра высшей математики, Госуниверситет-УНПК, Орел.
Version approach to the modeling of linear elastic medium L.Yu. Frolenkova, V. S. Shorkin, S. I. Yakushina
Abstract. The variant approach to modeling linear elastic medium, based on the following provisions, is proposed. Depending on the problem being addressed infinitesimal particle of the medium is considered as a sphere, a dumbbell or a dipole. As characteristics of the thermodynamic states are used temperature gradients and an infinite sequence of increasing orders of the displacement vector and (or) the angle of rotation of the particle is terminated at the desired item. The change in free energy of the particle in its transition to the current state is given by a polynomial of degree of changes in the characteristics of the thermodynamic state. The coefficients are determined by differentiating the known expression of the free energy, the form of which is postulated on the basis of pre-conditions analysis task at hand.
Keywords: nonlocal multiparticle interaction, gradient, surface energy, and the strength of adhesion and cohesion.
Frolenkova Larisa (Larafrolenkova@yandex.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of physics, State University-Education-Science-Production Complex, Orel.
Shorkin Vladimir (VShorkin@yandex.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of physics, State University-Education-Science-Production Complex, Orel.
Yakushina Svetlana (jakushina@rambler.ru), senior lecturer, department of higher mathematics, State University-Education-Science-Production Complex, Orel.
Поступила 11.02.2013